几何概型经典练习题

几何概型题目选讲1．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45解析：设AC＝x，由题意知x(12－x)＜32⇒0＜x＜4或8＜x＜12，所求事件的概率P＝4－0＋12－812＝23.2．已知圆C：2212,:4325xylxy在圆上任取一点P,设点P到直线l的距离小于2的事件为A求P(A)的值。解：P(A)=163．设不等式组0≤x≤20≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为4－π×444＝4－π4.4．在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为__________．解析：由1≤log2x≤2，得2≤x≤4，根据区间长度关系，得所求概率为29.5．在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________．解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝2＋915＝1115.6．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.作出区域0≤x＜24，0≤y＜24，y－x＞4或y－x＜－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2或y－x≥4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域0≤x＜24，0≤y＜24，y－x＞4或x－y＞2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.7.知k∈［－2,2］，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－错误!未找到引用源。k＝0相切的概率等于【来【解析】.∵圆的方程化为错误!未找到引用源。，∴5k＋k2＋40，∴k－4或k－1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆错误!未找到引用源。相切，∴A(1,1)在圆外，得错误!未找到引用源。，∴k0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈［－2,2］，其区间长度为4，所以P＝错误!未找到引用源。.8．已知k∈[－2,2]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－54k＝0相切的概率等于解析：∵圆的方程化为x＋k22＋(y－1)2＝5k4＋k24＋1，∴5k＋k2＋40，∴k－4或k－1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆x＋k22＋(y－1)2＝5k4＋k24＋1相切，∴A(1,1)在圆外，得1＋k22＋(1－1)25k4＋k24＋1，∴k0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈[－2,2]，其区间长度为4，∴P＝14.9．已知集合A＝{x|－3x1}，B＝xx＋2x－30.(1)求A∩B，A∪B；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；(3)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b－a∈A∪B”的概率．解：(1)由已知B＝{x|－2x3}，A∩B＝{x|－2x1}，A∪B＝{x|－3x3}．(2)设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝38.(3)因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E为“b－a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率P(E)＝912＝34.10．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝412＝13.②记“x2＋y2(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y24”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y24，(x，y)∈Ω}，∴P(B)＝SBSΩ＝2×2－π2×2＝1－π4.11、“已知圆C：x2＋y2＝12，设M为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN.”求弦MN的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则MD＝MC＝26.当N点不在半圆弧CMD上时，MN＞26.所以P(A)＝π×232π×23＝12.12．(1)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BAC上，其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13.(2)如图，在Rt△ABC中，作AD⊥BC，D为垂足，由题意可得BD＝12，且点M在BD上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P＝BDBC＝122＝14.答案：(1)13(2)1413．在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S—ABC的高与三棱锥S—APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以VS—APCVS—ABC＝S△APCS△ABC＝PMBN，又PMBN＝APAB，所以APAB＞13时，满足条件．设ADAB＝13，则P在BD上，所求的概率P＝BDBA＝23.14．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0.作出0≤a≤1，0≤b≤1，a－2b＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.15．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6－x－y＜6，即0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x＋y＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，则还要满足x＋y＞6－x－y，x＋6－x－y＞y，y＋6－x－y＞x，即为x＋y＞3，y＜3，x＜3所表示的平面区域为△DEF，由几何概型知，所求概率为P＝S△DEFS△AOB＝14.