线性代数4.1-4.2-彭丽华

第一节特征值与特征向量第四章二、特征值与特征向量的概念四、小结一、正交矩阵与正交变换三、特征值与特征向量的性质证明TAAEE定义.,1正交矩阵为称则即满足阶方阵若AAAEAAAnTT定理nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211一、正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是正交的单位向量组．AAEAAEAATT说明：ETnTTn,,,2121ETnnTnTnTnTTTnTT212221212111njijijiijTji,,2,1,,0;,1当当.的一个标准正交基量空间的行（列）向量组是向阶正交矩阵nRAn由上述定理可知：性质正交变换保持向量的内积﹑长度及夹角不变．证明,为正交变换设PxyyyyT则有定义若为正交阵，则线性变换称为正交变换，即xPyP正交矩阵的性质：,AB为正交矩阵1()(2)TAA即也是正交矩阵(1)1A=3AB也是正交矩阵11111221221122221122nnnnnnnnnnxpypypyxpypypyxpypypyPxPxTT.xxxT说明1.0,.x特征向量特征值问题是对方阵而言的2.,0,0.nAEAxEAA阶方阵的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程的都是矩阵的特征值二、特征值与特征向量.,,,,1的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义AxAxAxxnnA3.0EA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa0nEAA称以为未知数的一元次方程为的特征方程.,,次多项式的它是n记fEAA称其为方阵的特征多项式.124.,,,,ijnnAa设阶方阵的特征值为则有;)1(221121nnnaaa.)2(21An.A方阵可逆的充要条件是它的所有特征值非零例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x.)1(是任意常数的特征值是mAmm.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明xAx1AxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxAxAxxA可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA.ffA则为的一个特征值证明：1110()nnnnfAaAaAaAaE又11103()nnnnAfxaxaxaxa（）设是方阵的一个特征值，为一多项式，A设是方阵的属于的一个特征向量，(mmAm则其中为任意整数）1110()nnnnfAaAaAaAaE则1110nnnnaAaAaAaE1110nnnnaaaa1110nnnnaaaa()f.ffA即为的一个特征值.,,,,,,,.,,,,,,,121212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理mmmmppppppmA证明使设有常数mxxx,,,21.02211mmpxpxpx则,02211mmpxpxpxA即,0222111mmmpxpxpx类推之，有.0222111mmkmkkpxpxpx1,,2,1mk三、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmpxpxpx.,,2,10mjpxjj即,0jp但.,,2,10mjxj故.,,,21线性无关所以向量组mppp注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．12,,,mpppA设都是方阵的对应于特征值的特征向量，12iiAppim则（，，）112212.mmikpkpkpAkim即它们的任何非零组合仍是的对应于特征值的特征向量，其中（，，）为常数1122mmAkpkpkp1122mmkApkApkAp1122mmkpkpkp1122mmkpkpkp1212,,xA若设同时是的属于特征值的特征向量即有xAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值．例1.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解A的特征多项式为.1,2321的特征值为所以AEA1104301022(2)11000100003102410100EA2,(2)0EAx1当时解方程组,1001p得基础解系1(0)2.kpk1所以是对应于的全部特征向量31,()0EAx2当时解方程组210420101EA101012000,1212p得基础解系223(0)1.kpk所以是对应于的全部特征向量例2设,314020112A求A的特征值与特征向量．解211020413EA2(1)22(1)20令.2,1321的特征值为得A11,0EAx当时解方程组111030414EA,1011p得基础解系的全体特征向量为故对应于11).0(1kpk101010000232,20EAx当时解方程组4112000411EA得基础解系为：2311441,0,01pp:232的全部特征向量为所以对应于).0,(323322不同时为kkpkpk411000000AA用特征根计算方阵的行列式123233,31,1,2,5,;5.ABBAEAA设是阶矩阵它的个特征值为设求例3解.21AAAn来计算要关系的行列式与特征值的重利用,5)(23xxxf令,,,321的全部特征值是因为A故部特征值的全是所以.5)()31)((23BAAAfifi)(AfB)()()(321fff.288)12)(6)(4(.5EA下面求方法一,5)(EAAg令),(),(),()(321gggAg的所有特征值为所以,2,1,1321的所有特征值为因为A)(5AgEA.72)2()1()1(ggg),2)(1)(1()(AEfA所以,2,1,1321的所有特征值为因为A.725)1(53AEEA,72)25)(15)(15()5(5fAEA方法二,2,1,1321的所有特征值为因为A.22)1(1A故.724/28852ABEA),5(5223EAAAAB又,52EAAB,288B但方法三例4设A是阶方阵，其特征多项式为n0111aaaAEfnnnA.的特征多项式求AT解AEfTAT0111aaannnTAEAETAA方阵与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.12;TAA1;TAAE;3单位向量的列向量是两两正交的A.4单位向量的行向量是两两正交的A1．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A四、小结2.正交矩阵的性质：,AB为正交矩阵1()(2)TAA即也是正交矩阵(1)1A=3AB也是正交矩阵3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.;AEA计算的特征多项式122.0,,,,;nEAA求特征方程的全部根就是的全部特征值3.,0,.iiiEAx对于特征值求齐次方程组的非零解就是对应于的特征向量1.4:det3EA0,2,det0,.TAAAEAA设阶方阵满足条件求的一个特征值思考题113A从而是的一个特征值.216,det4,det0,(det)AAA于是但14.3AAA故=有一个特征值为知由可逆故因为0)3det(.,0detEAAA解,3的一个特征值是A即得又由,16)2det()det(2EAAEAATTdet4,A因此解A的特征多项式为EA111212122212nnnnnnababababababababab12122.(,,,)(,,,),.nnTaaabbbA已知向量和求矩阵的全部特征值1212nnaaAbbba111212122212nnnnnnababababababababab121112121222121000nnnnnnnbbbababababababababab12121000000nnbbbaaa1122121000000000nnnabababbbb11221nnnababab11nniiiab