线性代数4.4实对称矩阵的对角化-彭丽华

第四节实对称阵的对角化第四章二、实对称矩阵的对角化三、小结一、实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数xAxA则.xxAx一、实对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．,的表示xx共轭复向量于是有AxxTAxxT及AxxTxxT,xxTxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得.0xxT,0x但因为0,即.是实数由此可得2110nnTiiiiixxxxx所以,()0,0,.iiiAEAxEA由于实对称矩阵的特征值为实数所以齐次线性方程组是实系数方程组由知必有实的基础解系从而对应的特征向量可以取实向量定理1的意义：12,,,Tnxxxx令121212122,,,,,.Apppp定理设是实对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与正交证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称1111TTpp,11ApApTTT于是11212TTpppAp,212ppT.02121ppT,21.21正交与即pp.021ppT1TAp122Tpp14,,,.AnPPAPAn定理设为阶实对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵证明,,,,21s它们的重数依次为srrr,,,213,,(),.AnArEAREAnrr定理设为阶实对称矩阵是的特征方程的重根则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量).(21nrrrs设的互不相等的特征值为A.nn阶实对称矩阵必有个线性无关的特征向量n阶实对称矩阵都可以对角化.,21知由nrrrs由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，.,,),,,2,1(单位正交的特征向量个即得把它们正交化并单位化关的实特征向量个线性无恰有对应特征值rrsiiiiPPAPP11.,,,11个特征值的是恰个个的对角元素含其中对角矩阵nArrss这样的特征向量共可得个.n故这个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵，则P根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：APP根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化将正交化后的特征向量单位化.3.1.;的特征值求A2.0iiEAxA对于每个特征值:由，求出的属于特征值的线性无关的特征向量,再将其正交化解22021202EA4120.2,1,4321得,020212022)1(A310130004)2(A例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P(1)第一步求的特征值A0,iEAxA第二步由求出的特征向量14,40EAx当解方程组解之得基础解系122121,0EAx当解方程组解之得基础解系211212204232024EA110012000120202021EA12002100032,20EAx当解方程组4202232022EA210011000解之得基础解系31211第三步将特征向量正交化.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A第四步将特征向量单位化,1,2,3iiii令12323,13得22313,23.32323131232211,,212,3122P作1400010002PAP则310130004)2(A400031013EA224.4,2321得特征值12,20,EAx对由得基础解系1101234,40,EAx对由得基础解系23100,10123,由于与恰好正交故不需对其正交化对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，.,,321两两正交所以得令单位化再将3,2,1,,,321iiii,212101,0012.212103于是得正交阵2102121021010,,321P1200040004PAP则1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化．,111111111A.00100100nB思考题,AB1.判断下列两矩阵是否相似:1det()(),nEAn因解1,,AP又是实对称矩阵存在可逆矩阵使得111(,0,,0)PAPdiagn12,0nAn的特征值为,1,02特征向量个线性无关的有对应特征值nn使得故存在可逆矩阵,2P,212PBP,212111PBPPAP从而,121112BPPAPP即.相似与故BA22.,,det2.nAAAArEA设阶实对称矩阵满足且的秩为试求行列式的值两个实对称矩阵若有相同的特征值，则它们相似.1det()()nEBn还可求得.有相同的特征值与即AB10,.00ssEPAPEs其中是阶单位阵2EA从而2000020200rrrnrnrEEEEE.2rn说明：此题也可转化成求矩阵的所有特征值.22A2AA又，AA设为矩阵的一个特征值，为的属于特征值的一个特征向量，则A，2则200又为特征向量，显然，20故，10.即或,,AP又是实对称阵故存在可逆阵使得Ar又的秩为，sr从而10,.00rrEPAPEr即其中是阶单位阵,r则的秩也为1=2PEP1=2EPP2E解