线性代数之3.1-n维向量

第一节n维向量第三章二、线性相关性四、向量组的秩一、向量、向量组三、最大线性无关组五、小结定义1212,,,(,,,).nninaaaaaannniai个有次序的数所组成的有序数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、向量、向量组12(,,,)Tnaaa维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,TTn维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,n12naaa规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如()mnAnmija矩阵有个维列向量aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.1122bnnxxx线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义１.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA1122.mmxxxb即线性方程组有解121212:,(,)(,,).mmmbAABb向量能由向量组，，线性表示的充分必要条件是矩阵，，的秩等于矩阵，，的秩定理1定义２..,,,:,,,:2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BAABBAsm向量组能由向量组线性表示向量组等价．BA1122mmxxxb线性方程组有解1212(,)(,,)mmABb，，的秩等于，，的秩向量组之间的等价关系具有下述性质：（2）对称性（1）反身性（3）传递性0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意1211.,,,,0,nn若线性无关则只有当时才有2.,.对于任一向量组不是线性相关就是线性无关定义３二、线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A11220.nn成立3.,向量组只包含一个向量时4..包含零向量的任何向量组都是线性相关的5.,对于仅含有两个向量的向量组它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，线性相关线性无关两个向量线性相关的几何意义是两向量共线；.三个向量线性相关的几何意义是三向量共面00（其中至少有一个向量可以由另两个向量线性表示）定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（不妨设）能由其余向量线性表示，m则有112211mmm故11221110mmm因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk因中至少有一个不为0，mkkk,,,21不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.1.)(;),,,(,,,2121mARmAmm必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组定理2下面举例说明定理的应用.1122120A0(,,).mmmAxxxxA向量组线性相关就是齐次线性方程组即有非零解,其中维向量组n121,0,,0,0,1,,0,0,0,,1TTTn，,.n称为维基本单位向量组讨论其线性相关性解12(,,,).nnEn维单位向量组构成的矩阵是阶单位矩阵.)(01nERE，知由()RE即等于向量组中向量个数，例１2.故由定理知此向量组是线性无关的，，，742520111321.21321的线性相关性，及，，试讨论向量组解.2,21321321即可得出结论）的秩，利用定理，及（），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变，，对矩阵（已知例２分析751421201),,(321102022000.,,2),(,,2),,(2121321321线性无关向量组线性相关；，向量组可见RR102022055.,,,,,,,,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组bbbbbb例30,,332211321bxbxbxxxx使设有,0)()(133322211xxx）（即131122233)()()0,xxxxxx即（线性无关，故有，，因321131223000xxxxxx证123,,.bbb所以向量组线性无关1230xxx.,,.,,,:,,,,(1)1121也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若ABBAmmm定理31111(,,),(,,,)mmmAaaBaaa（）记，证明()()1RBRA则()()11,RBRAm从而,2()ARAm若向量组线性相关则根据定理有，2.B因此根据定理知向量组线性相关1:...结论（）可推广为一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关特别地，含有零向量的向量组必线性相关反之，若一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关说明）设（2),,,2,1(,,,12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj1212.,,,,,,,.,.jjmmbABbbbBA即添上一个分量后得向量若向量组：线性无关则向量组：也线性无关反言之，若向量组线性相关则向量组也线性相关定理31(1)12(,)(,,),rmmrmmABbb（）记，.B)(线性无关，因此向量组故mBR()()RARB则,()ARAm若向量组线性无关则，()RBm从而有()(RBmBm但因只有列），证明121(3):,,,,:,,,,,.mmABbbA设向量组线性无关而向量组线性相关则向量必能由向量组线性表示且表示式是唯一的1212(4)(,,,),(,,,,),mmABb记定理3证明()()RARB则()ARAm因组线性无关，有()1BRBm因组线性相关，有()1().mRBmRBm所以，即有说明21,.结论（）是对增加一个分量（即维数增加维）而言的，若增加多个分量结论也成立()(),RARBm由1122mmxxxb知方程组有唯一解，.bA即向量能由向量组线性表示，且表示式唯一4.mnnm（）个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关123,,,mmn（）个维向量构成矩阵定理3,(),nmRAm若则12(,,,)nmmA，()RAn则12,,,.mm故个向量线性相关证明(1).nkkn即任意个维向量一定线性相关，满足个向量中能选出，如果在设有向量组rrAA,,,21定义１线性无关；）向量组（rA,,,:1210关，个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（112rArA.的秩称为向量组数最大无关组所含向量个r;0）（简称的一个向量组是那末称向量组AA最大线性无关向量组最大无关组0.它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没三、最大线性无关向量组.向量组与它的最大无关组是等价的说明.它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向证12(,,,)(),0.mrARArrD设，并设阶子式定理１0rDr由知所在的列线性无关；来说，矩阵的个列按原来的次序构成中任意对于BrA1无关组，的列向量组的一个最大列是所在的因此ArDr).(ARA的行向量组的秩也等于类似可证四、向量组的秩.1个列向量都线性相关中任意故rA)()(ARBR1rr.r所以列向量组的秩为.最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若rDrDADrrr;1）最大无关组不唯一（结论说明.2关组是等价的）向量组与它的最大无（12,,,m向量组的秩也记作12(,,,)mR12:,,,nnE因为维单位向量构成的向量组是线性无关的，解.的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体nnnRRRn例11nRn又中的任意个向量都线性相关，nER因此向量组是的一个最大无关组，.nRn且的秩等于97963422644121121112A设矩阵例2.用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵A行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对A解97963422644121121112A97963211322111241211，知3)(AR.3个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首421124,,.aaa故为列向量组的一个最大无关组000003100001110412113433063550022204121131000620000111041211线性无关，故知421421,,3),,(aaaaaaR35124,,,.aaaaa要把用线性表示，则须将其再变成行最简形矩阵),,421aaa（事实上763264111112000100110111初等行变换10104011030001300000A初等行变换3125124,433aaaaaaa即得.的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组ABAB0101:,,:,,,.rsBBAArs证明：设向量组的一个最大无关组为，向量组的一个最大无关组为要证定