3.2-n维向量空间

第二节n维向量空间第三章二、向量空间的基与维数一、向量空间的概念三、向量的内积四、正交向量组的概念及其求法五、小结说明,,.VRV则2．维实向量的全体构成的集合是一个向量空间,记作.nnR,,;VV则一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．nVVVV1．集合对于加法及数乘两种运算封闭指V.,33是一个向量空间维向量的全体R例1例2判别下列集合是否为向量空间.解.1是向量空间所以V1TnTnbbaa,,,0,,,,022,V12210,,,TnnababV.,,,012VaaTnRxxxxxVnTn,,,,,12222RxxxxxVnTn,,,,,01221.22不是向量空间V.2,,2,2222VaaTn则,,,,122VaaTn因为若维向量，集合为两个已知的设nba,例3RbaxV,试判断集合是否为向量空间.，bax111解bax222则有,)()(212121Vbaxx.)()(111Vbkakkx.,所生成的向量空间量这个向量空间称为由向ba.是一个向量空间故VVRaaaxVmmm,,,212211间所生成的向量空由向量组maaa,,,21一般地，记为.,,,,,,,,,212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm试证：记等价，与向量组设向量组例4.,,11线性表示可由，则设maaxVx证,,:12VxVx则若类似地可证.211221VVVVVV，所以，因为线性表示，可由线性表示，故可由因ssmbbxbbaa,,,,,,111.2Vx所以，，则这就是说，若21VxVx.21VV因此.12VV因此定义2设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．21VV1V2V1V2V例1nVR显然1.nVR所以是的子空间RxxxxxVnTn,,,,,0221;,,,)1(21线性无关r.,,,2)(21线性表示中任一向量都可由rV那末，向量组就称为空间的一个r,,,21V基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间．VrVr二、向量空间的基与维数定义3设是向量空间，如果个向量，且满足r,,21VVr,R,,xVrrr12211（2）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为r,,,21VV（1）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.VVV12,,,nnnR设是维向量空间的一个基，则121212,,,nnnxxxxxx，，，这组有序数称为在这个基下的坐标,并记为，，，12,nnRxxx总有且仅有一组数，，，使定义41122nnxxx,221212122),,(321aaaA,243041),(21bbB.,,,,213321线性表示用这个基的一个基，并把是验证bbRaaa设矩阵例5.~,,,,3213321EAaaaRaaa线性无关，即只要证的一个基，只要证是要证解，设33222211223312211111,axaxaxbaxaxaxb,),,(),(32312221121132121xxxxxxaaabb即.AXB记作.,,)(13321BAXBEARaaaEABA变为时，变为的一个基，且当为则，能变为施行初等行变换，若对矩阵411223021224221242213021241122)(BA2410033201013200113113303021224221113307863024221699007863024221321100373821024221的一个基，且为，故因有3321,,~RaaaEA.3211323432),,(,32121aaabb24100332()01013200113AB初等行变换定义1维向量设有n,,2121nnyyyyxxxx1122,nnxyxyxyxy令,xyxy称为向量与的内积.三、向量的内积说明,,,:,.Txyxyyx内积是向量的一种运算如果都是列向量内积可用矩阵记号表示为内积的运算性质:,,,为实数维向量为其中nzyx(1),,;xyyx(2),,;xyxy(3),,,;xyzxzyz(4),0,0,0.xxxxx且当时有定义2非负性.1齐次性.2三角不等式.322212,,nxxxxxx令.或的维向量为称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0xxxx时当时当;xx.yxyx,nR设，，则定理称为柯西-施瓦茨不等式.维向量间的夹角单位向量及n.1,5,1,33,2,2,1的夹角与求向量例解,cos2262318.4.,11为称时当xx单位向量,20,0,arccosxyxyxy当时.的与维向量称为yxn夹角１正交的概念２正交向量组的概念,0,.xyxy当时称向量与正交.,0,与任何向量都正交则若由定义知xx若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．四、正交向量组的概念及求法,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使设有r,,,21证明11220rr1,T以左乘上式两端得0111T３正交向量组的性质1212.rrn定理维两两组则线性无关若向量,,,是一正交的非零向量,,,,例1已知三维向量空间中两个向量121,11121正交，试求使构成三维空间的一个正交基.3321,,４向量空间的正交基.,,,,,,,,,,,212121的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若VVrrr即1312323123,0,20xxxxxx解得0231xxx则有若令,13x1013213xxx由上可知构成三维空间的一个正交基.321,,则有1323,,0解.,,0,,213213正交且分别与设Txxx５标准正交基1212123,,,(),,,,,,,,rnrrneeeVVReeeeeeV定义设维向量是向量空间的一个基如果两两正交且都是单位向量则称是的一个标准正交基（或规范正交基）..212100,212100,002121,0021214321eeee例如.212100,212100,002121,0021214321eeee,0,,1,2,3,4.,1,,1,2,3,4.ijijeeijijeeijij且由于且41234,,,.eeeeR所以为的一个标准正交基.1000,0100,0010,00014321同理可知4.R也为的一个标准正交基（1）正交化:11取2122111,,,12,,,,rV若为向量空间的一个基６求标准正交基的方法1212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.rrrrrVVeeeeee设是向量空间的一个基要求的一个标准正交基就是要找一组两两正交的单位向量使与等价这样一个问题称为把这个基标准正交化或规范正交化121121112211,,,,,,rrrrrrrrr111,,,,,,.rrr那么两两正交且与等价（2）单位化，取121212,,,,rrreee12,,,.reeeV那么为的一个标准正交基313233121122,,,,例２用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)标准正交化.解先正交化，111,1,1,12122111,,1,1,1,111114114,0,1,13,1,2,0取11,,,,,.rr上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程称为施密特正交化过程313233121122,,,,3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1再单位化，22212130,2,1,30,,,14141414e33311121,1,2,0,,,06666e得标准正交向量组如下111111111,1,1,1,,,22222e例3.,,,,,111321321两两正交使求一组非零向量已知aaaaaa解.0,0,321132xxxxaaaT即应满足方程12100,1.11取其线性无关的两个解为再将它们正交化，,12a2132111,.,a1211,1,,2,其中于是得,1012a.12121101211103a１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．五、小结4．将一组基标准正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．1.,,:(,):(,)(,)(,),:(,)(lg,),??TkVxababRabcdacbdkabakRbV设定义加法与数乘运算如下加法数乘是不是向量空间为什么思考题.不是向量空间V解.,,还是正实数积因为两个正实数的和与对加法封闭显然V.对乘法不封闭但V.),0(),1(lg),1(,),,1(VbbbkkbVkk