中南大学线性代数-1.1-矩阵及其运算

第一节矩阵及其运算一、矩阵的定义二、矩阵的运算第一章三、矩阵的分块四、分块矩阵的运算规则一、矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211由个数排成的行列的数表nmmnnjmiaij,,2,1;,,2,1称为矩阵.简称矩阵.mn行列nm简记为.ijnmijnmaaAA.,简称为元的元素个数称为这Anm元素都是实数的矩阵称为实矩阵元素都是复数的矩阵称为复矩阵例如34695301是一个实矩阵,429532是一个矩阵,414是一个矩阵.11几种特殊矩阵(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作111212122212nnnnnnnaaaaaaAaaa例如2222222613i是一个3阶方阵.主对角线次（副）对角线特殊地，主对角线以下全为0的方阵称为上三角形矩阵主对角线以上全为0的方阵称为下三角形矩阵,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（3）形如的方阵,OO不全为0记作.,,,21ndiagA(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).(4)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.100010001nEEOO全为1（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意不同阶数的零矩阵是不相等的.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即ijijbBaA与,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵相等,记作BA与.BA例如9348314736521与为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相同,列数相同时,称为同型矩阵.例设,131,213321zyxBA.,,,zyxBA求已知解,BA.2,3,2zyx矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称阵共轭矩阵二、矩阵的运算１、定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111（一）矩阵的加法设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，定义为nm,bB,aAijijABBA即对应元素相加.说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例12345698186309153121826334059619583112.986447411132、矩阵加法的运算规律;1ABBA.2CBACBAmnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113.,04BABAAA,ija.负矩阵的称为矩阵A1、定义.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA（二）数与矩阵相乘,AAA数与矩阵的乘积记作或定义为此运算称为矩阵的数量乘积，简称数乘;1AA;2AAA.3BABA2、数乘运算的运算规律矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）,nmBA、１、定义skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC（三）矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmijcCAB注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如123321132231.10不存在.2132232122212221323.634242例１222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2?求AB.故121113121430415003112101ABC.解,43ijaA,34ijbB.33ijcC567102621710２、矩阵乘法的运算规律;1BCACAB,2ACABCBA;CABAACBBABAAB3（其中为数）;4;nnnnnAEEAA若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且5nkAk个kkAAAA,AAAkmkm.mkkmAA为正整数k,m注意矩阵一般不满足交换律，即：,BAAB.BAABkkk例设1111A1111B则,0000AB,2222BA.BAAB故?)(:2BA思考.AOBOABO存在矩阵，使得.ABOAOBO若，则不能推出矩阵或说明但也有例外，例如,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB称为纯量矩阵（或数量矩阵）000000nkkkEk形如的方阵nnnnnkEAAkEkA201201()mmmfxaaxaxaxaaaAn设，系数，，，均为常数，为阶方阵，2012()mmfAaEaAaAaAn则仍为阶方阵.().fAA称为的矩阵多项式矩阵多项式210()23().43fxxxAfA例3:设，,求解0010010010012A.002012222.001001kAA求设例400100100201222223AAA32323003033由此归纳出200021121kkkkkAkkkkkkk用数学归纳法证明当时，显然成立.2k假设时成立，则时，nk1nk121111020010000nnnnnnnnnnnAAAn所以对于任意的都有k.00021121kkkkkkkkkkkA11111120100nnnnnnnnnn定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AA或AA例,854221A;825241TA,618B.618TB１、转置矩阵(transposematrix)（四）矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质;1AATT;2TTTBABA;3TTAA4.TTTABBA例5已知,102324171,231102BA.TAB求解法1102324171231102AB,1013173140.1031314170TABTTTABAB213012131027241.1031314170解法22、对称(矩)阵与反对称(矩)阵定义设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称(矩)阵.AnTAAn,,,j,iaajiij21A.A为对称阵例如6010861612(,1,2,,),TjiijAAaaijnA如果，即则方阵称为反对称（矩）阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等说明例6证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明TAAC设TTTAAC则AAT,C所以C为对称矩阵.,TAAB设TTTAAB则AAT,B所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA,22BC命题得证.3、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.定义ijaAijaijaijaAAA;2AA3;ABAB运算性质;1BABA（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:BA,4.TTAA三、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.A一个矩阵可以有多种不同的分块方法.A具体做法：将矩阵用若干条纵线和横线分成若干小块，每一小块也可以看成一个矩阵（称为的子矩阵），以子矩阵为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.A123BBBbbaaA110101000001例,BEOAbbaaA110101000001aaA01其中bbB111001E0000O,4321AAAAbbaaA1101010000010101aA其中1012aA1003bAbA10041,,AB设矩阵与为同型矩阵采用相同的分块法,ijijAB其中与为同型矩阵则.11111111srsrssrrBABABABABA四、分块矩阵的运算规则srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,那末为数设,,21111srsrAAAAA.1111srsrAAAAA分块成矩阵为矩阵为设,,3nlBlmA,,11111111trtrststBBBBBAAAAA那末的行数的列数分别等于其中,,,,,,,2121ijjjitiiBBBAAAsrsrCCCCAB1111.,,1;,,11rjsiBACkjtkikij其中AB分块矩阵相乘时需的列的划分与的行的划分一致即是方阵且非零子块都其余子块都为零矩阵上有非零子块角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设.,,,5AnA,21sAAAAOO,411srAAA