中南大学线性代数1.2行列式

第二节行列式第一章一、n阶行列式的定义三、行列式按行(列)展开二、行列式的性质四、小结一、二阶行列式的概念数aij(i,j=1,2)表示第i行第j列的元素.22211211aaaa,21122211aaaa副对角线主对角线定义二阶行列式说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．对角线法则定义二、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332,aaaaaaaaaaaaaaaaaa其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列上的元素.三阶行列式三阶行列式的计算可如下图:333231232221131211aaaaaaaaa+++定理定义三、排列与逆序数为了得到n阶行列式的定义和讨论其性质,先引入排列和逆序数的概念.由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个n级排列.其中若某两数之间前面的数大于后面的数,则称它们构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.n级排列(i1i2…in)的逆序数记为τ(i1i2…in),简记为τ.例如,四级排列2314中,2与1,3与1构成逆序,故τ(2314)=2;再如六级排列243516中,2与1,4与1,3与1,5与1,4与3均构成逆序,故τ(243516)=5.奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.如四级排列2314是偶排列，而六级排列243516为奇排列.对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动,则称对该排列作了一次对换.如排列31524是排列21534经过2与3对换而得,而τ(21534)=3,τ(31524)=4,即经过对换后排列的奇偶性改变了.一次对换改变排列的奇偶性.四、n阶行列式的定义利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,332112322311312213312312322113332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa中共3!=6项,其中一半带正号,一半带负号.τ(123)=0τ(312)=2τ(231)=2τ(321)=3τ(132)=1τ(213)=1333231232221131211aaaaaaaaaD,)1(321321321)(jjjjjjaaa其中是对所有三级排列(j1j2j3)求和.三阶行列式可记为22211211aaaaD,)1(212121)(jjjjaa其中是对所有二级排列(j1j2)求和.同样,二阶行列式例1解定义仿此,可得n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211其中是对所有n级排列(j1j2…jn)求和,而aij仍称为第i行第j列的元素.nnjjjaaa2121)1()(21njjj由定义可知,n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和,且共有n!项,其中一半带正号,一半带负号.在一个五阶行列式中a13a24a32a41a55的前面应取什么符号?由于τ(34215)=5,列下标为奇排列,故a13a24a32a41a55前应带负号.上一页上一页例2计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211展开式中项的一般形式是1212.njjnjaaa,njn11,njn3213,2,1,njnjj所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa000222112111211221nnnaaa.2211nnaaa解例3计算下列n阶行列式11212212.nnnnaaaDaaa(称为下三角行列式)由定义，D中取自不同行不同列的n个元素的乘积，除了a11a22…ann外，其余全为0，而a11a22…ann的列下标的排列为(12…n),τ(12…n)=0,D=(1)0a11a22…ann故解作为例3的特例，可知下面的n阶行列式(称为对角行列式).22112211nnnnaaaaaa上一页=a11a22…ann例4计算n阶行列式12,121,1.nnnnnnnnaaaDaaa取D中不在同一行不在同一列的n个元素的乘积,除a1na2,n-1…an1外,其余全为0,而a1na2,n-1…an1的列下标的排列为(n,n1,…,1),1)2()1()1,1,(nnnn故(1)212,11(1).nnnnnDaaa,2)1(nn解由例4立即可知.)1(11,212)1(nnnnnaaa11,21nnnaaa上一页在n阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把n个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这n个元素相乘时次序可以是任意的，故有.)()()1(22112121njnijijinnaaajjjiiiD定理n阶行列式的定义也可写成由上述定理还可知道,若将列下标按自然顺序排列,则有.1212121niiiiiinnaaaD小结:n阶行列式的定义有三种形式：上一页nnnjjjjjjaaaD2121211)()(niiiiiinnaaa2121211)()(.)()()(nnnnjijijijjjiiiaaa221121211性质1n阶行列式与它的转置行列式相等.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，,212221212111nnnnnnaaaaaaaaaDT则D=DT.即如：.53425432由此可得行列式的下列性质由性质1可知.2211nnaaa22211211nnnnaaaaaa21221211nnnnaaaaaa上三角行列式下三角行列式三角行列式上一页性质1按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.行列互换，行列式的值不变.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，即五、行列式的性质说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,212221212111nnnnnnaaaaaaaaaDT则D=DT.性质2交换n阶行列式的任意两行(列),行列式仅改变符号.即111111nnnqnqpnpnaaaaaaaa.111111nnnpnpqnqnaaaaaaaa这是因为行列式D的这两行互换后得D=D,从而D=0.如二阶行列式,87531而83175两者异号.推论1若n阶行列式有两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.上一页性质3把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数k,等于该行列式乘以数k.nnnniniinaaakakakaaaa212111211.212111211nnnniniinaaaaaaaaak即由性质3可知,若行列式某行(列)有公因式则可提出来。结合性质2和性质3,有若n阶行列式有两行(列)对应元素成比例,则该行列式为零.若n阶行列式有某行(列)全为零,则行列式为零.推论2推论3证112()121()ininjjjjjijnjaakaa左112()121ininjjjjjijnjkaaaakD=右上一页性质4若n阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和.111211nnn2n1ini2inaaaaaaaaa21''2'111211nnnniniinaaaaaaaaannnnininiiiinaaaaaaaaaaaa21221111211即如1543214721154321=10,,10)9(114215321而.14215321即.21DD上一页性质5把n阶行列式的某行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即111111nnnjnjininaaaaaaaa1111111.niinjijninnnnaaaaakaakaaa性质5可由性质4及性质3的推论2得出.如,174214274421,11021两者相等.上一页行列式还有三条推论：1.行列式D有两行(列)各元素对应相同，则D=0；2.行列式D有两行(列)各元素对应成比例，则D=0；3.行列式D有某行(列)各元素全为零，则D=0.由上节例2可知上（下）三角形行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为一个与之相等的上（下）三角形行列式,从而简化行列式的计算.为表达简捷,计算行列式时,以ri表示每i行,ci以k加到第i行记作ri+krj.jirr，将第j行乘表第i列,交换i,j两行记作小结：2.交换行列式的两行(列)，行列式仅变号;3.行列式某行(列)的公因式可提出；4.行列式某行(列)的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；5.行列式某行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变.行列式有五条性质：上一页1.行列互换，行列式的值不变.r3+4r2r48r23445rr例1计算行列式.33511102431521133351110243152113解72160112064802131721606480112021311510001080011202131250001080011202131.4025821上一页32rr331511204351213121cc12rr145rr例2解计算n阶行列式.abbbbabbbbabbbbaabbbbabbbbabbbba)(21nccc)1()1()1()1(abbbnababbnabbabnabbbbna1000(1)000000bbbabanbabab1(1)()nanbab1rri(i1)上一页abbbabbbabbbbna1111)1(例3解计算n阶行列式.0321021301321nnn0321021301321nnn00023002620321nnnnri+r1(i1).!321nn上一页六、行列式按行(列)展开计算行列式时,除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,为此引入余子式和代数余子式的概念.定义在n阶行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行与所在列后剩下的n1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij.余子式Mij带上符号(1)i+j则称为元素aij的代数余子式,记为Aij,即Aij=(1)i+jMij.,4314011M.4)1(111111MA元素a11=1的余子式和代数余子式分别为如三阶行列式312401321中,元素a12=2的余子式和代数余子式分别为,5324112M.51122112MA而元素a13=3的余子式和代数余子式分别为,1120113M.11133113MA通过直接计算可知,176401630312401321而131312121111AaAaAa,17135241两者相等,这个现象不是偶然的.事实上,有定理1(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元