中南大学线性代数2.1-2.3

第一节初等变换与初等矩阵第二章二、矩阵的标准形三、初等矩阵一、矩阵的初等变换四、小结定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk一、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换1()irkjikrr逆变换.)(jijikrrrkr或等价关系的性质：1~AA（）反身性2~~ABBA（）对称性若，则3~~~ABBCAC（）传递性若，，则．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；10104011030001300000（2）、每个台阶只有一行台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．二、矩阵的标准形阶梯形矩阵mnA对于任何非零矩阵总可以只用有限次初等行变换化成阶梯形矩阵.21112112144622436979A11214011100001300000例如，阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成更简单的形式：1121401110000130000010000010000010000000F.FA矩阵称为矩阵的标准形.F特点：的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmrmnEOIOO,,.mnrr此标准形由三个数唯一确定，其中就是阶梯形矩阵中非零行的行数由此可知：因此，nAI对于阶可逆方阵，它的标准形也可逆，nInE故是阶单位矩阵；nnAIEA反之若阶方阵的标准形，则可逆.nnAAE定理：阶方阵可逆的充要条件是的标准形为~nAE即.有相同的标准形与等价，则与若BABA阵的可逆性，显然初等变换不改变矩定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵:矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1,()ijEijrr对调中第两行，即，得初等矩阵对调两行或两列、11101111011),(jiE行第i行第j，得左乘阶初等矩阵用nmijmaAjiEm)(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行第i行第j).(jirrjiAA行对调行与第的第把：施行第一种初等行变换相当于对矩阵，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列与第的第把：施行第一种初等列变换相当于对矩阵02乘某行或某列、以数k)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kkiE行第i；行的第乘相当于以数)(kriAkimnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211))((行第i类似地，，左乘矩阵以AkiEm))(().())((kciAkAkiEin列的第乘相当于以数，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数)()(03k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)(ijjikccjiEkkrrijEk1111))((kkijE行第i行第j，左乘矩阵以AkijEm))((1112111221212(())nijijinjnmjjjnmmmnaaaakaakaakaEijkAaaaaaa).(jikrrikjA行上加到第行乘的第把(())().njiEijkAAikjckc类似地，以右乘矩阵，其结果相当于把的第列乘加到第列上定理：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nmmnAAAAA初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵初等变换初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆知，初等矩阵是可逆的，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵.),(),(1；则的逆变换是其本身，变换jiEjiErrji));1(())((11kiEkiEkrkrii则，的逆变换为变换1()(())(()).ijijrkrrkrEijkEijk变换的逆变换为，则定理2A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等矩阵1212,,,,.llPPPAPPP使得证,~EA使即存在有限个初等方阵,,,,21lPPPAPEPPPPlrr121.PPPAl21即.,:~BPAQQnPmBAnm使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论,EA故经有限次初等变换可变为必要性充分性显然成立利用初等变换求逆矩阵的方法：，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对.,3431223211AA求设解例１100343010122001321EA111100253230102310011AAXBXAB可逆利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求解矩阵方程E)(BABA1即初等行变换11()()AABEAB例２.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解1AXAB由可逆，则343431312252321)(BA1232502519026212100320204600113100320102300113.313223X311009152052321311006402041021.1CAY即可得(,)TTAC也可改为对作初等行变换：,AYACC若要求则可对矩阵作初等列变换：1A,CECA,)(,)TTTACEY（.TTYY即可求得初等列变换初等行变换11ACEACATTTYACAYC由作转置运算得,122220111A,00110001.nijijnAA已知阶方阵求中所有元素的代数余子式之和解：例3,02A.可逆A.1*AAA且10001000010011000010111000012222EA100010001100010001100010001210001,100011000110001211A,21*AAnjiijA1,故.1)]1()1(21[2nn11121n11110111AAA0011000122220111A001100011解法二：n1n2nn22220111AAA001111110,11nijijAA故中所有元素的代数余子式之和21222n22221111AAA001100010四、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆矩阵的步骤是:;1EAEA或构造矩阵112,,(,,).AEAEAEAEAEEA对施行初等行变换将化为单位矩阵后右边对应部分即为或对施行初等列变换将化为单位阵后对应部分即为