第二章平面问题的基本理论

第二章平面问题的基本理论§2.1平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题(planestress)1．几何形状特征物体在一个坐标方向(例如z方向)上的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面x、y方向的尺寸。yxh2yz2．承受荷裁特征在薄板的两个侧表面上无表面荷载，作用于薄板边缘的表面力平行于板面，且沿厚度方向不发生变化，或虽沿厚度方向变化但对称于乎板画的中间平面，即合力与中平面重合。同时，体力亦平行于板面，且沿厚度方向不变。3．简化分析根据问题的特征，经过分析判断可预先未知函数中一部分为零或接近于零，或与共他分虽相比，小到可以忽略不计的程度。设弹性薄板的厚度为h，因薄板两侧面无表面力作用，所以有而在薄板内部，这三个应力分量是不为零的。但是，由于板很薄且在所给荷载情形下，薄板不受弯曲作用，也不存在稳定问题。所以可认为板内所有各点都有0,0,0222hzzyhzzxhzz0,0,0zyzxz由剪应力互等定理，得0,0yzxz故平面应力问题的非零应力分量为xyyx,,在实际工程中，可以简化为平面应力问题的例子是很多的。例如，高层建筑中的剪力墙、深梁、平面吊钩(如图2—3所示)以及平面链环、被圆孔或圆槽削弱的薄板等等，都可简化为平面应力问题。在实际应用中，对于微度变厚度的薄板、带有加强筋的薄板、平面刚架的节点区域等等，只要符合上述两个条件，也往往核平面应力问题用有限单元法作近似计算。二平面应变问题(planestrain)1．几何形状特征与平面应力问题相底物体沿一个处标轴(例如z轴)方向的尺寸远大于其他两个坐标轴(x轴和y轴)方向的尺寸，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等截面柱体。2．承受荷载特征柱体的体积力和侧表面所承受的表面力均垂直于z轴，且分布规律不随坐标z变化,柱体的位移约束条件和力的支承条件沿z方向也是相同的。3．简化分析等截面柱体，例如挡土墙、隧道、重力坝和圆管等，如果受到垂直于z轴且不沿长度变化的荷载作用，就可以假定所有横截面都处于相同的情况。为简单起见，现在先假定两端截面被限制在两个固定的光沿刚性平而之间，因而z方向的位移被阻止了。由于两端没有轴向位移，且由于对称，在中间截面也没有轴向位移；因而可以假定每一个横截面都同样没有轴向位移。每一个横截面都同样没有向向位移。当然，在长柱体的每一种情况下，荷裁必须不沿长度变化。由于所有横截面的情况相同，所以只须考虑相隔—个单位长度的两截面之间的薄板(即一片)就够了。这时，位移分量u和v是x和y的函数，但与纵坐标z无关，因为纵向位移w为零，所以可得。于是，六个应变分量只剩下、和等三个应变分量了，而且它们仅是x和y的函数。所以，凡符合下列两个条件0,0,0yzxzzxyxy0.2,,,.1yzxzzxyyxyx的函数仅是的应变状态，就称为平面应变状态，所求的这种弹性力学问题称平面应变问题。§2.2平衡微分方程(differentialequationsofequilibrium)基本思路过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式——平衡微分方程。xyoYXCADBPxdxxxxydyyyyxydyyyxyxdxxxyxy对图示的六面体，各面上的应力分布已经给出，应力分布被认为作用于对应的微分面的中心j，体力分量被认为作用于微分体体积的中心上。方程推导考虑任意一个单元体的平衡，则是保证整个物体平衡的必要和充分条件。因此，作用在单元体上的力应当满足平面问题的三个平衡条件：0,0,0mYX,0X由011111Xdxdydxdxdyydydxxdyyxyxyxxxx整理以后，得00YyxXyxyxyyxx,0Y由Nevier方程(2-1),0m由021212121dydxdydxydxdydxxdxdyyxyxyxxyxyxy两边除以dxdy,合并相同的项，得到yxxy这不过是再一次证明了曲应力的互等性。可见，Navier方程中只有三个未知函数。(2-2)§2.2平面问题中一点的应力状态xyoYXCADBPxdxxxxydyyyyxydyyyxyxdxxxyxy对平面应力或平面应变问题，可以证明：当知道了物体内任一点的应力分量x、y和xy以后，作用于通过该点处与xy平面垂直并与x和y轴交成某一角度的任一平面上的应力，都可以求得。令P为受力的板中的一点，并假定应力分量x、y和xy是已知的。试取一个平行于z轴而距离P点很近的平面BC，于是。这个平面连同坐标面一起，从板上分割出一个很小的三棱柱PBC所以当分割的三棱校渐小时。作用于平面BC上的应力将趋近于经过P点并与它平行的平面上的应力。n令n为平面BC的法线方向．并用jnin,cos,,cosml代表法线与x轴和y轴之间的夹角的余弦。于是，把三棱柱BC面的向积用A代表．则另外两面的面积为Al和Am。用及代表BC面上的应力分量，则由三棱柱的平衡方程得XYyxyxyxmlYmlX(2-3)令为法线n与x轴之间的夹角，于是有l=cos，m=sin，并由方程(2-3)得平面BC上的正应力分量和剪应力分量xyxynxyyxnlmlmYXlmmlYX2222sincos2sincos(2-4)式(2-4)与材料力学的结果是完全相同的，只是使用的符号记法不一样。同时教材中所给出的确定主应力的方法也与材料力学中学习过的方法一样。下面我们介绍一种更加简便的记法——矩阵记法。对平面应力状态，一点的应力状态可以记为yxyxyxij22211211而法线n记为(l,m)T，这样式(2-4)可以写成mlmlyxyxyxijn,Tnn此时，剪应力却不能给出普遍性的表达式，原因是这时的斜截面BC不能用正、负坐标微面来规定其所谓的正方向，即便如此，对图示情形,xyntlmcossin2sin2cost(2-5)从而，有mllmyxyxyxijn,Tnt注意：我们将(ij)称为一点的应力张量，它可以完全反映该点的应力之分布情况。(ij)n事实上就是斜面BC上的应力按沿坐标分量的记法，即某斜截面的剪应力由于没有规定相应的切向正方向，所以经常要视剪应力的具体情况而定。jinYXij(2-6)主应力、主方向的确定yxyxyxij22211211应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，即yxyxyxij022xyyxyxyxyxyxf(2-7)(2-8)结论：特征方程的特征根就是该点的主应力022xyyxyxf对于特征方程该方程的两个特征根为22214212xyyxyx(2-9)将每一个特征根i代入下述方程组0mliyxyxyixijn这是一个关于l,m的齐次线性方程组，该方程的基础解系就是与主应力i对应的特征方向(li,mi)T。(2-10)例以纯剪切应力状态为例。xyxyyx00xyxyijxyxyij022xyxyxyfxy21显然xyxy2311,0111mlmlxyxyxyxyxyxyijn将1代入下列方程组其解为llmm也就是说与1对应的方向为(1,1)，或者(-1,-1)。同样可得与2对应的方向为(-1,1)，或(1,-1)。xyxy(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)§2-3几何方程刚体位移经过弹性休内任意一点P，截取一微小的单位厚度的正六面体PACB，假定弹性体受力以后(形变与位移只发生在xy平面内)，六面体移动到新的位置。这样，可以看到两种基本的几何形变，即，一种是在x、y方向上原来直线长度PA、PB的变化，另一种是所给PA与PB夹角(直角)的变化。分别推导这两种基本的几何形变，就可以得到线形变和角形变的方程。这两种方程的综合就得到所谓平面问题的几何方程。BCAP在平面问题中，其形变和位移与应力一样，仅仅是x、y的函数，从而只需分析xoy平面内形变与位移的关系。对于图示的有限小六面体(棱边长度分别为x、y，单位厚度z=1)。当弹性体变形时点P(x，y)移至P´(x+u，y+v)，其余的各角点也分别移至新的位置，如A(x+x，y)移至A´(x+x+u+u，y+v+v1)，如此等等。由于点A的位移与点P的位移不相等，假定变形后的梭边P´A´比变形前的棱边PA伸长了。由因可见，其水平投影的长度增加了(u+u)-u=u，从而其水平投影的相刘伸长昼为u／x，这就是六面体在x方向的平均线应变。同理，六面体在y方向的平均线应变为v／y，当该有限小六面体棱边的长度x、y无限趋于零时，这两个平均线应变的极限便分别成为P(x，y)点处的线形变分量x和yyyxxyvyvxuxu00limlim同样可很线段PA、PB的转角分别为xvyu于是可得PA与PB之间的直角的改变(以减小时为正)，也就是剪应变xy为xvyuxy综合得Cauchy方程xvyuyvxuxyyx,,(2-11)刚体位移由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，应变分量则亦完全确定；反之，当应变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。为了说明后一点，试令应变分量等于零，即0,0,0xyyx将上式代入几何方程(3-1)，得0,0,0xvyuyvxu(a)(b)将前两式分别对x及y积分，得xfvyfu21,其中f1、f2为任意函数。代(c)入(b)中的第三式，得(c)dxxdfdyydf21这一方程的左边是y的函数而右边是x的函数。因此，只能是两边都等于同一常数，于是得dxxdfdyydf21,(d)(e)积分以后，得xvxfyuyf0201,(f)式中u0、v0为任意常数。将式(f)代入式(c)，得位移分量xvvyuu00,(2-12)式(3-2)所示的位移，是“应变为零”时的位移，也就是所谓“与应变无关的位移”，因此必然是刚体位移。实际上，u0、v0分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移，而为物体绕z的的刚体转动。下面根据平面运动的原理加以证明。当三个常数中只有u0不为零时，由式(3-2)可见，物体中任意一点的位移分量是u=u0，v=0。这就是说物体的所有各点只沿