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机械能守恒定律对物体系统的应用河北省物理特级教师王海桥一、如何选取系统应用机械能守恒定律必须准确的选择系统.系统选择得当,机械能守恒；系统选择不得当,机械能不守恒。判断选定的研究系统是否机械能守恒，常用方法：１、做功的角度；２、能量的转化的角度。二、机械能守恒定律的常用的表达形式：1、E1=E2（E1、E2表示系统的初、末态时的机械能）2、ΔEP减=ΔEK增（系统势能的减少量等于系统动能的增加量）3、ΔEA减=ΔEB增（系统由两个物体构成时，A机械能的减少量等于B机械能的增量）三。常见守恒类型（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？Mmh解：以M、m为研究对象，在ｍ开始下落到刚要着地的过程中机械能守恒，则：12mgh=（M+m）v2mM2mghv例2.一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且Mm,开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。求（1）当M由静止释放下落h高时的速度（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？Mm解：（1）对于M、m构成的系统，只有重力做功，由机械能守恒有：总m上升的高度：解得：（2）M触地，m做竖直上抛运动，机械能守恒：v=√2(M−m)ghM+m12Mgh−mgh=（M+m）v2mgh´=12mv2∴H=h+h´=2MhM+m例3：如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑L距离后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。30ºAB解：该题A、B组成的系统只有它们的重力做功，故系统机械能守恒。设物块A沿斜面下滑L距离时的速度为v，则有：４mgL•sinθ－mgL=（４m+m）v212(势能的减少量=动能的增加量)细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的初速度为v，此后B作竖直上抛运动。设继续上升的高度为h，由机械能守恒得mgh=mv212物块B上升的最大高度:H=h+L三式连立解得H=1.2L例4、长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？解：选上边的虚线处为零势面由机械能守恒定律得：v∴v=√gL2L/4=mg·mv212L4若选小滑轮处为零势面则--mgl/4=--mgl/2+mv2/2例5.如图所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？Ah分析：设h高的液柱质量为m，拿去盖板后，参与流动的是全部的液体，设右侧液面下降的速度为(整体速度)v，两侧液面相平时，等效于将的液体由右管移到左管，系统重力势能的减少量为，系统动能增量为，根据机械能守恒定律得，即，所以．m1m2例6.如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系．两球用细线连接构成一整体，在运动中只有重力做功，系统机械能守恒．设圆柱半径为R．对、系统机械能守恒①对：在最高点，圆柱对小球的支持力恰为零，只受重力，由圆周运动知②由②式得出，代入①式化简可得．例7.两质量分别为m和2m的小球a、b用一根长L轻杆连接，杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，让杆由水平位置无初速释放，在转至竖直的过程中()A.a球机械能增大B.b球重力势能减小，动能增加，机械能守恒C.a球和b球总机械能守恒D.a球和b球总机械能不守恒AC例8：如图所示，B物体的质量是A物体质量的1/2，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高处由静止开始下落．以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体距地面的高度是()A．H5B．2H5C．4H5D．H312mAgh=mAv2h所以：25h=Hvv12mB=mAmAg（H−h）12=（mA+mB）v2B例9.如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；以及杆对A做的功；⑵B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。⑴过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。解得：W=-36mgL/11（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角．如图所示．则有2mg.2Lcosα=3mg.L（1+sinα）此式可化简为4cosα-3sinα=3解得sin（53°-α）=cos53°=sin37°即α=16°所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）解得h=1.28L⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，=2mg.2Lsinθ-3mg.L(1-cosθ)=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgL，解得•例10.如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：（1）两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；（2）此过程中杆对B球所做的功。解：（1）两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：解得：（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B从h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果。据动能定理WB=例11.如图，光滑斜面的倾角为θ，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，不计滑轮摩擦，求m下降b时两物体的速度大小．例12．如图所示，质量为2m和m可看做质点的小球A、B，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为R的光滑圆柱两侧，开始时A球和B球与圆柱轴心等高，然后释放A、B两球，则B球到达最高点时的速率是多少?答：例13.如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d．现将环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A.环刚释放时轻绳中的张力等于2mgB.环到达B处时，重物上升的高度为（根号2-1）dC.环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为根号2/2D.环减少的机械能大于重物增加的机械能AB