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第一章1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。15．求的误差分析。解：其中。16．有误差，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。（2）向后误差分析，仍由定理5其中：。第二章函数的插值1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的的近似值。解：由于所以：，即：。7．证明。证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为13．找一个5次Hermite多项式，满足解：由差商表：（略）14.证明（34）式成立，即证明证明：因为：17．解：因为，若是贝塞尔函数的反函数，为求的零点，只需求，下面用插值方法计算，先作差商表：于是根：或样条插值和曲线拟合2．，作4次多项式的等距插值，求，并比较与的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？解：（1）先作差商表所以：，故：。（2）若采用分段插值，则在上，，所以：，结果一样。4．对在中用等距分段Hermite3次插值，其余项是什么？解：若对在中用等距分段Hermite3次插值，则在每个小区间上，由第二章定理8知：由于，所以在上，注意右端与无关，故在上，有：。5．对函数，在区间上用等距线性插值、等距Hermite3次插值、等距样条插值，问步长应取多少才能保证各自的截断误差小于？解：因为，所以，因此。若在区间上用等距线性插值，则误差为：欲使，只须。若在区间上用等距Hermite3次插值，则误差为：欲使，只须若在区间上用等距样条插值，则由定理5，有：欲使，只须。7．对，在上取5个等距节点，求3次自然样条插值。解：取节点，作差商表：对于自然样条，，按公式（10）形成方程组：解得：。由（9）式即得样条函数的表达式（略）。11．对于3次样条函数，如果给定的条件是，如何给出边界条件使得唯一确定。解：由于在上是3次多项式，故在上是1次多项式，而且满足，因此可表示为于是积分两次并利用（为未知量）可定出积分常数：事实上，积分两次后，记，再由可定出。于是：即：若考虑在上，有两边的应相等，即：，整理并记，得：若给定边界条件，则形成方程组：该方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，故唯一确定。12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。15．证明满足周期边界条件的3次样条插值函数也具有极小模性质，即：，其中是二阶导数连续函数，且，，。证：设是二阶导数连续，且满足，，的任意一个函数，令，则。由：得：故：。证毕16．证明：贝齐尔曲线。证：因17．对于贝齐尔曲线，若要求，问应是什么？解：由得：，即：，再由得：，解得：18．利用作图定理证明：。证：利用数学归纳法。当时：成立。假设当时有：，则当时：故由数学归纳法知，对任意有：。19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。第四章最佳逼近1.若，试构造相应的Bernstain多项式。解：作变换，则当时，，记：，则其Bernstain多项式为：再将代入上式即得在上的Bernstain多项式：4．假设，证明关于的最佳一致逼近多项式为：，其中：。证明：因在上连续，故存在使：，。（1）若，（2）则为常数，（3）显然就是在上的0次最佳一致逼近多项式。（4）若则，（5）且记，（6）由于当，（7）于是：，（8）即，（9）又，（10）9;，（11）即为误差曲线的两个正负相间的偏差点，（12）由契比雪夫定理知，（13）9;就是在上的0次最佳一致逼近多项式。6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。7．假设是奇（偶）函数，问其最佳一致逼近多项式是否也是奇（偶）函数？解：回答是肯定的。这里只证明当是偶函数时，相应的最佳一致逼近多项式也是偶函数。事实上，由于是在上的最佳一致逼近多项式，则有：用代替，并注意到，也有：这说明也是在上的最佳一致逼近多项式，再由唯一性知：成立，说明是偶函数。证毕8．求解在上的一次最佳一致逼近多项式。解：因：，故由定理4的推论2知是契比雪夫交错点。假设是在上的一次最佳一致逼近多项式，则，又若是另一个契比雪夫交错点，则由，再由得，所以在上的一次最佳一致逼近多项式为。9．选取常数，使最小，又问这样的常数是否唯一？解：令，由，解得，再由，，所以，欲使最小，只需取，即解得。11．证明第一类契比雪夫多项式具有如下性质：（1），（2）（3）（4）证明：（1）（2）（3）因，则因代入上式即得（4）同理因12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。14．试求在上关于的最佳一致逼近三角多项式，并求出最佳逼近值。解：不妨设，则取，则误差曲线满足，且在区间上的个点：，处轮流取得其最大值与最小值，由于是以为周期的周期函数，故这一性质在上也成立。因此的最佳一致逼近三角多项式为，最佳逼近值为。当时，上述结论也成立。15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。证明：原方程组的矩阵形式为：为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。于是原方程组有唯一解。16．证明在区间上，。证明：因在区间上，是在所有次首一多项式中，与零偏差最小的多项式，故以的零点：为插值节点，构造拉格朗日次插值多项式，则：，因为根据的取法有：，从而于是。17．证明许瓦兹不等式，并借此证明内积范数满足范数的3条性质。证：取，则故：。并由内积的性质：推出：（1）且（2）（3）由于：所以：18．求在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。解：由于，则：，，，，，可得方程组：，解之得：。故在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式为：。19．若是秩为的矩阵，试求解问题：，其中：。解：若记为矩阵A的第列向量，则由于A的秩为，故线性无关，且记，显然：，于是子空间V对的最佳平方逼近为：。从而上述问题即为最小二乘问题，其解满足法方程组：，故所求问题的解为：。20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，或恒负。不妨设，又由恒正，故。但由于在上带权正交，故，这与上式矛盾。因此，对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。21．试写出勒让德多项式的前4项。解：由递推公式：得：。22．证明：第二类契比雪夫多项式在内积意义下正交。问其规范正交系又怎样？证明：由于因此第二类契比雪夫多项式在内积意义下正交，且其规范正交系为：第四章最佳逼近1.若，试构造相应的Bernstain多项式。解：作变换，则当时，，记：，则其Bernstain多项式为：再将代入上式即得在上的Bernstain多项式：4．假设，证明关于的最佳一致逼近多项式为：，其中：。证明：因在上连续，故存在使：，。（1）若，（2）则为常数，（3）显然就是在上的0次最佳一致逼近多项式。（4）若则，（5）且记，（6）由于当，（7）于是：，（8）即，（9）又，（10）9;，（11）即为误差曲线的两个正负相间的偏差点，（12）由契比雪夫定理知，（13）9;就是在上的0次最佳一致逼近多项式。6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。7．假设是奇（偶）函数，问其最佳一致逼近多项式是否也是奇（偶）函数？解：回答是肯定的。这里只证明当是偶函数时，相应的最佳一致逼近多项式也是偶函数。事实上，由于是在上的最佳一致逼近多项式，则有：用代替，并注意到，也有：这说明也是在上的最佳一致逼近多项式，再由唯一性知：成立，说明是偶函数。证毕8．求解在上的一次最佳一致逼近多项式。解：因：，故由定理4的推论2知是契比雪夫交错点。假设是在上的一次最佳一致逼近多项式，则，又若是另一个契比雪夫交错点，则由，再由得，所以在上的一次最佳一致逼近多项式为。9．选取常数，使最小，又问这样的常数是否唯一？解：令，由，解得，再由，，所以，欲使最小，只需取，即解得。11．证明第一类契比雪夫多项式具有如下性质：（1），（2）（3）（4）证明：（1）（2）（3）因，则因代入上式即得（4）同理因12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。14．试求在上关于的最佳一致逼近三角多项式，并求出最佳逼近值。解：不妨设，则取，则