几个简单的初等模型

1江苏省邗江中学数学建模学案（2）几个简单的初等模型有人说数学是科学的皇冠，因为数学十分抽象、十分严密。同时，数学又是科学的仆人，它不仅为自然科学的各门学科服务，也为经济学、社会科学和生产、日常生活提供服务。数学模型是实现这种服务的桥梁，数学建模就是讨论如何建立这种“桥梁”的问题。只有建立了适当的数学模型，才有可能用数学工具去解决我们所遇到的实际问题。众所周知，如果你想学会骑自行车，那么你必须亲自去尝试骑车，即使开始时免不了跌跤；如果你要学会游泳，那么你必须亲自下水去尝试，即使开始时会灌几口水。同样的道理，如果你要学会数学建模，你就得尝试用数学方法解决实际问题。正如体育教练要做示范动作一样，本节课堂将给出一你一些经典的数学建模范例。检票问题旅客在车站候车室等候检票，并且排队的旅客按照一定的速度在增加，检票速度一定，当车站开放一个检票口，需用半小时可将待检旅客全部检票进站；若同时开放两个检票口，则只需十分钟便可将旅客全部进站，现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内旅客全部检票进站，问此车站至少要同时开放几个检票口？公平的席位分配问题：某学院3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？下表按“比例”（惯例）来分配20和21个席位，你认为这样分配公平吗？系别学生人数所占比例20个席位的分配21个席位的分配比例分配的席位参照惯例的结果比例分配的席位参照惯例的结果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.573总和20010020.02021.00021按“比例”分配20个席位：甲、乙、丙系分别应得10.3、6.3和3.4席，舍去小数部分2后分别得10、6、3席，剩下的1席分给“损失”最大(即小数部分最大)的丙系，于是三个系仍分别占10、6、4席。按“比例”分配21个席位：甲、乙、丙系分别应得10.815、6.615和3.57席，舍去小数部分后分别得10、6、3席，剩下的2席分给“损失”最大(即小数部分最大)的甲系和乙系，于是三个系分别占11、7、3席。从上面分析中发现，在总席位数为20席时丙系可分到4席，而当总席位增加之后，丙系分到的席位数反降为3席。这一“矛盾性结果”同样不符合我们对一个好的席位分配算法的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。一．问题分析：席位分配问题，当出现小数时，无论如何分配都不是完全公平的。那么一个比较公平的分法是：应该找到一个不公平程度最低的方法，因此首先要给出不公平程度的数量化，然后考虑使之最小的分配方案。二．模型建立：1．讨论不公平程度的数量化设A，B两方人数分别为21,pp；分别占有1n和2n个席位，则两方每个席位所代表的人数分别为11np和22np。我们称2211npnp为绝对不公平值。例：10,100,1202121nnpp则22211npnp；又10,1000,10202121nnpp则22211npnp由上例可知，用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准，并不合理，下面我们给出相对不公平值。若2211npnp则称11221222211npnpnpnpnp为对A的相对不公平值，记为),(21nnrA若2211npnp则称12112111122npnpnpnpnp为对B的相对不公平值，记为3),(21nnrB上例中，相对A的不公平值分别为：0.2和0.02，可见相对不公平值较合理。2．下面我们用相对不公平值建立模型设，A，B两方人数分别为21,pp；分别占有1n和2n个席位现在增加一个席位，应该给A还是B？不妨设2211npnp，此时对A不公平，下面分二种情形（1）22111npnp，这说明即使A增加1席，仍对A不公平,故这一席应给A。（2）22111npnp，说明A方增加1席时，将对B不公平，此时计算对B的相对不公平值：1)1(),1(211221npnpnnrB若这一席给B，则对A的相对不公平值为：1)1()1,(122121npnpnnrA本着使得相对不公平值尽量小的原则，若)1,(),1(2121nnrnnrAB---------（3）则增加的1席给A方，若),1()1,(2121nnrnnrBA--------（4）则增加的1席给B方。由（3）式可得：21121221(1)(1)11pnpnpnpn)1()1(11212222nnpnnp由（4）式可得：12212112(1)(1)11pnpnpnpn)1()1(11212222nnpnnp记：)1(iiiinnpQ则增加的1席，应给iQ值大的一方。3．Q-值法与m方的席位分配：现将上述方法推广到m方分配席位的情况：iA方人数为ip，已占有in席4mi,,2,1计算)1(2iiiinnpQ，则将增加的1席分配应给iQ值最大的一方。三．模型求解（考虑原问题）：前19席的分配没有争议，甲系得10席，乙系得6席，丙系得3席第20席的分配4.96)110(1010321Q5.94)16(66322Q3.96)13(33423Q故第20席分配给甲系。第21席的分配：因为4.80)111(1110321Q3.96,5.9432QQ故第21席分配给丙系。甲、乙、丙三系各分得11，6，4席，这样丙系保住它险些丧失的1席。四．模型检验Q-值法分配模型使丙保住了它险些丧失的1席位，没有出现按“惯例”分配时的矛盾性（席位增加，名额反而减少）结果，符合我们的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。因此Q-值法分配模型比较合理，是相对较公平的分配方案。五．模型应用推广及评价：作为Q-值法的应用，本文给出的学生代表席位的分配问题的结果为：)3,6,11(对应总席位数为20，)4,6,11(对应总席位数为21。事实上要我们说Q-值法与参照“惯例”的算法孰是孰非是不适当的，它们遵循了两种不同的“公平”标准：Q-值法关心一个团体的席位在增加与不增加一个席位对这个团体中个体的心理感受，而参照“惯例”的算法却从把一个团体视为一个整体来考察的。而Q-值法的导出，是以其它团体的席位分配为参照来衡量一个团体席位分配中的相对不公平程度，事实上当总人数P与总席位数N一定时，以NP/这一客观标准作参照应当更为合理。公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理和对策论等领域具有广泛的应用价值。这一问题的提出和研究也是因为美国政治选举的需要而产生的。Q-值法分配模型只是其中的一种。相关链接：公平席位分配的另一种方案比利时)(Hondtd分配方案：将甲、乙、丙三系的人数都用1，2，3，……去除，将商从大到小排列，取前21个最大的，这21个中各系占有几个，就分给几个席位。你认为这种方法合理吗？课后探究1．你也会建模：学校共有1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。学生们要组成一个10人委员会，使用Q值方法及Hondtd方法给5出分配方案。如果委员会为15人，分配方案是什么？2．上网或去图书馆搜集一下是否还有其他的公平席位分配模型。