三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩函数sin()yAxk的图象与函数sinyx的图象之间可以通过变化Ak，，，来相互转化．A，影响图象的形状，k，影响图象与x轴交点的位置．由A引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)xysin)3sin(xy)32sin(xy)32sin(3xy纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．例1将sinyx的图象怎样变换得到函数π2sin214yx的图象．解：（方法一）①把sinyx的图象沿x轴向左平移π4个单位长度，得πsin4yx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin24yx的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin24yx的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到π2sin214yx的图象．（方法二）①把sinyx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sinyx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2yx的图象；③将所得图象沿x轴向左平移π8个单位长度得π2sin28yx的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到π2sin214yx的图象．)32sin(3xyxysinxy2sin)32sin(xy纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2纵坐标不变横坐标向左平移π/6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2yx的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin28yx而不是πsin28yx，把πsin4yx的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin24yx而不是πsin24yx．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2将sin2yx的图象怎样变换得到函数πcos24yx的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin2cos2cos222yxxx，在πcos22yx中以xa代x，有ππcos2()cos2222yxaxa．根据题意，有ππ22224xax，得π8a．所以将sin2yx的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos24yx的图象．