2014届高考数学(理科)二轮专题复习课件：选修4-4坐标系与参数方程

知识与方法热点与突破知识与方法热点与突破[真题感悟][考题分析]知识与方法热点与突破1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.知识与方法热点与突破2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.知识与方法热点与突破3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.(4)圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．知识与方法热点与突破4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．知识与方法热点与突破6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθ，y＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．知识与方法热点与突破热点与突破热点一极坐标方程和参数方程【例1】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为4，π2，若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．知识与方法热点与突破解(1)直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝－5＋32t，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ.(2)因为M4，π2对应的直角坐标为(0,4)，直线l的普通方程为3x－y－5－3＝0，∴圆心到直线l的距离d＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞5，所以直线l与圆C相离．知识与方法热点与突破[规律方法]要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答．知识与方法热点与突破【训练1】在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφy＝3sinφ(φ为参数)的左焦点与直线x＝1＋t，y＝－4＋2t(t为参数)垂直的直线的普通方程．解椭圆的普通方程为x225＋y29＝1，左焦点为(－4,0)，直线x＝1＋t，y＝－4＋2t，(t为参数)的普通方程为2x－y－6＝0，所求直线方程为y＝－12(x＋4)，即x＋2y＋4＝0.知识与方法热点与突破热点二曲线的极坐标方程的应用【例2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.知识与方法热点与突破解(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.知识与方法热点与突破[规律方法]解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．知识与方法热点与突破【训练2】直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．解析直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l，则12＝122＋l22，解得l＝3.答案3知识与方法热点与突破热点三参数方程的应用【例3】已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．知识与方法热点与突破解(1)由已知可得：A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．知识与方法热点与突破[规律方法]本题的技巧在于根据圆内接正方形的各顶点的极角相差π2，而极径不变，先得到各点的直角坐标，如果先把圆的方程转化为普通方程，再求各点的坐标就相对比较麻烦．知识与方法热点与突破【训练3】已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.解析由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p0)，焦点Fp2，0，准线x＝－p2，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋p2＝2p，得p＝2.答案2