复数的概念与运算.ppt

高考数学总复习第12章算法初步、推理与证明、复数北师大版第12章第七节高考数学总复习北师大版第七节复数的概念与运算第12章第七节高考数学总复习北师大版第12章第七节高考数学总复习北师大版考纲解读1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．第12章第七节高考数学总复习北师大版考向预测1．复数的相关概念以及复数的代数运算是高考考查的热点之一，尤其是复数相等的充要条件及复数的代数运算更是重中之重．2．本部分题型主要以选择题为主，难度较小，多为低档题．第12章第七节高考数学总复习北师大版第12章第七节高考数学总复习北师大版知识梳理1．复数的概念(1)虚数单位i：(1)i2＝；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．(2)代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中叫实部，叫虚部．－1ab第12章第七节高考数学总复习北师大版(3)复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数⇔z是虚数⇔z是纯虚数⇔a＝02．复数相等的条件a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔.b＝0b≠0b≠0a＝c且b＝da＝b＝0第12章第七节高考数学总复习北师大版3．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做.显然，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点平面向量OZ→.实轴虚轴Z(a，b)第12章第七节高考数学总复习北师大版4．复数的模设复数z＝a＋bi在复平面内的对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫做复数的模或绝对值，记作|z|，显然|z|＝.5．运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．(1)z1±z2＝；(2)z1·z2＝；(3)z1z2＝a2＋b2(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.第12章第七节高考数学总复习北师大版6．复数的运算定律(1)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝(2)复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即z1·z2＝，(z1·z2)·z3＝，z1·(z2＋z3)＝.z2＋z1z1＋(z2＋z3)．z2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3第12章第七节高考数学总复习北师大版7．常见的运算规律(1)i的周期性：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，(n∈Z)(2)(a＋bi)(a－bi)＝；(3)(1±i)2＝；(4)1＋i1－i＝；a2＋b2±2ii第12章第七节高考数学总复习北师大版(5)b－ai＝(a＋bi)·(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.(6)求a＋bi(a、b∈R)的平方根设(x＋yi)2＝a＋bi(x，y∈R)，由x2－y2＝a2xy＝b，求出x、y.8．a＋bi与(a，b∈R)互为共轭复数a－bi第12章第七节高考数学总复习北师大版基础自测第12章第七节高考数学总复习北师大版1.(2011，湖南理，1)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1[答案]D[解析]本小题考查内容为复数的概念、运算与复数的相等．(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.第12章第七节高考数学总复习北师大版2．(2011·福建文，2)i是虚数单位，1＋i3等于()A．iB．－iC．1＋iD．1－i[答案]D[解析]本题考查复数．∵i2＝－1，∴i3＝－i，∴1＋i3＝1－i，选D.第12章第七节高考数学总复习北师大版3．若a、b∈R，则复数(－a2＋4a－5)＋(b2＋4b＋5)i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]－a2＋4a－5＝－(a－2)2－10，b2＋4b＋5＝(b＋2)2＋10.第12章第七节高考数学总复习北师大版4．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4(k∈Z)B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z)D.k2π＋π4(k∈Z)[答案]B第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析]由题意，得sin2θ－1＝02cosθ＋1≠0，⇒θ＝kπ＋π4θ≠2kπ±3π4，∴θ＝2kπ＋π4，k∈Z.第12章第七节高考数学总复习北师大版5．(2010·重庆理)已知复数z＝1＋i，则2z－z＝________.[答案]－2i[解析]2z－z＝21＋i－(1＋i)＝2－2i1＋i＝2－2i1－i1＋i1－i＝－2i.第12章第七节高考数学总复习北师大版6．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[答案]－20[解析]本题主要考查复数的概念及其运算．∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.∴复数(z1－z2)i的实部为－20.第12章第七节高考数学总复习北师大版7．已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i0，求实数x的值．[解析]∵z0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或3.当x＝1时，z＝3×1－1－1＝2－10，当x＝3时，z＝3×3－1－3＝22－30.∴x＝1.第12章第七节高考数学总复习北师大版第12章第七节高考数学总复习北师大版[例1]当实数m为何值时，z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限内．复数的概念第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析](1)若z为实数，则m2＋5m＋6＝0，m＋3≠0，得m＝－2.(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0，∴m≠－2且m≠－3.第12章第七节高考数学总复习北师大版(3)若z是纯虚数，则m2＋5m＋6≠0m2－m－6m＋3＝0，解得m＝3.(4)若z对应的点在第二象限，则m2－m－6m＋30m2＋5m＋60，即m－3或－2m3m－3或m－2，∴m－3或－2m3.第12章第七节高考数学总复习北师大版(1)如果复数2i＋a1＋i是实数(i为虚数单位，a∈R)，则实数a的值是()A．1B．2C．3D．4[答案]D第12章第七节高考数学总复习北师大版[分析]只要将题设中的复数化简成m＋ni(m，n∈R)的形式，此题便迎刃而解．[解析]因为2i＋a1＋i＝2i＋a1－i2＝a2＋(2－a2)i是实数，所以2－a2＝0，即a＝4.选D.第12章第七节高考数学总复习北师大版(2)已知复数z＝3＋i1－3i2，则|z|＝()A.14B.12C．1D．2[答案]B第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析]本题考查了复数的运算，包括加减乘除四则运算和模的运算，考查全面，在解题时应严格按照复数的运算法则进行计算，题目定位于容易题．由题知：z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－2＋23i－2－23i－2＋23i＝－34＋14i，可得|z|＝－342＋142＝12，故选B.第12章第七节高考数学总复习北师大版[例2]如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数，BC→表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数．复数的几何意义第12章第七节高考数学总复习北师大版[分析]求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可．第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析](1)AO→＝－OA→，∴AO→表示的复数－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.(2)CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.第12章第七节高考数学总复习北师大版[点评]解决这类题是利用复数a＋bi(a，b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解．第12章第七节高考数学总复习北师大版复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点A，B，C(如图)，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析]由图形知z1，z2，z3分别对应点A、B、C.∴AB→＝OB→－OA→，∴AB→对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i.在正方形ABCD中，DC→＝AB→，∴DC→所对应的复数为－3－i.又DC→＝OC→－OD→，∴OD→＝OC→－DC→所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i.∴第四个顶点对应的复数为2－i.第12章第七节高考数学总复习北师大版[例3]计算：(1)2＋2i41－3i5；(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)4022.[分析]注意应用(a±ai)2＝±2a2i，ω＝－12＋32iω3＝1等技巧．复数的代数运算第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析](1)原式＝1＋i42·1－3i25＝[1＋i2]2－2－12＋32i5＝2i2－2w5＝－4－2w2＝2ω＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.其中ω＝－12＋32i.第12章第七节高考数学总复习北师大版(2)原式＝i1＋23i1＋23i＋[(21－i)2]2011＝i＋(2－2i)2011＝i＋i2011＝i＋i4×502＋3＝i＋i3＝i－i＝0.第12章第七节高考数学总复习北师大版[点评]代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质，w＝－12＋32i的性质及1±i的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度．第12章第七节高考数学总复习北师大版(1)(2011·湖北理，1)i为虚数单位，则1＋i1－i2011＝()A．－iB．－1C．iD．1[答案]A第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析]本题主要考查复数的基本运算和虚数单位i的幂的性质．∵1＋i1－i＝i∴(1＋i1－i)2011＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i第12章第七节高考数学总复习北师大版(2)(2011·重庆理，1)复数i2＋i3＋i41－i＝()A．－12－12iB．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i[答案]C第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析]本题主要考查虚数单位i的幂的性质及复数的基本运算．i2＋i3＋i41－i＝－1＋－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝－－1＋i2＝12－12i，选C.第12章第七节高考数学总复习北师大版[例4]设关于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k∈Z)，方程无纯虚数根．复数相等的条件第12章第七节高考数学总复习北师大版[解析](1)设实数根为a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0，∵a、tanθ∈R，∴a2－atanθ－2＝0，a＋1＝0；∴a＝－1，且tanθ＝1，又0θπ2，∴θ＝π4第12章第七节高考数学总复习北师大版(2)设方程存在纯虚数根，设为bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0即－b2＋b－2＝0btanθ＋1＝0