2013年高考数学(理科)一轮复习课件第25讲：不等式选讲

考纲要求考纲研读1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|(2)x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32(通常称作平面三角不等式)3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法.近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．2．基本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件.1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式．(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．(5)放缩法：要证明不等式AB成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．2．绝对值不等式(1)含绝对值不等式的解法设a0，|f(x)|a⇔－af(x)a；|f(x)|a⇔f(x)－a或f(x)a.(2)理解绝对值的几何意义|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.{x|－1x2}1．用反证法证明时：其中的结论“ab”，应假设为()A．abB．abC．a＝bD．a≤bD2．(2010年广东广州测试)若关于x的不等式|x－a|1的解集为(1,3)，则实数a的值为()A(－∞，1)∪(2，＋∞)A．2B．1C．－1D．－24．不等式|2x－3|1的解集为____________________．5．(2010年陕西)不等式|2x－1|3的解集为_____________．3．不等式|2x－1||x|的解集为__________________．{x|x1或x13}考点1比较法证明不等式例1：已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：ax2＋by2≥ax＋by2.证明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a，b∈R＋，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.比较法证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式．第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．第三步：得出结论.考点2综合法证明不等式例2：设a，b，c都是正数，求证：(1)(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9；(2)(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.证明：(1)∵a，b，c都是正数，∴a＋b＋c≥33abc，1a＋1b＋1c≥331abc.∴(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.(2)∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a，又1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥331a＋bb＋cc＋a，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．考点3分析法证明不等式例3：已知α，β∈0，π2，且α≠β，求证：tanα＋tanβ2tanα＋β2.证明：欲证的不等式，即为sinαcosα＋sinβcosβ2sinα＋β2cosα＋β2，即只需证sinα＋βcosαcosβ2sinα＋β2cosα＋β2.∵α＋β2∈0，π2，∴sinα＋β20.∵sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2.故只需证cosα＋β2cosαcosβ1cosα＋β2，只需证cos2α＋β2cosαcosβ，即证1＋cosα＋β2cosαcosβ，即证1＋cosαcosβ－sinαsinβ2cosαcosβ，只需证1cos(α－β)，∵α≠β，∴结论显然成立．故原不等式成立．分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法．用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又……只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真．简写为：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.考点4利用放缩法证明不等式时应把握好度例4：已知n∈N*，求证：1＋122＋132＋…＋1n274(n2)．证明：∵1n21nn－1＝1n－1－1n，∴112＋122＋132＋…＋1n21＋14＋12－13＋…＋1n－1＋1n＝74－1n74.要证AB，可适当选择一个C，使得C≥B，反之亦然．主要应用于不等式两边差异较大时的证明．一般的放缩技巧有：①分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子．多见于分式类不等式的证明．②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明．考点5解绝对值不等式A．(0,2)B．(－∞，0)AC．(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)x－2解析：考查绝对值不等式的化简．绝对值大于本身，值为负数.x0，解得A.或者选择x＝1和x＝－1，两个检验进行排除．例5：①(2010年江西)不等式x－2xx－2x的解集是()②(2011年广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是____________．[1，＋∞)解析：|x＋1|－|x－3|≥0⇔(x＋1)2≥(x－3)2，∴原不等式的解集为[1，＋∞)．[0，＋∞)为___________．③(2011年江西)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集解析：由题意可得x≤－10，－x－10＋x－2≥8或－10x≤2，x＋10＋x－2≥8或x≥2，x＋10－x＋2≥8，解得x∈[0，＋∞)．考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．题①利用代值法最好；题②利用平方法最好；题③利用零点分区间法最好．考点6不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的应用图5－6－1例6：设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解析：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5x≤－12，3x－3－12x4，x＋5x≥4.作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，如图5－6－1，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和53，2.对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决．所以|2x＋1|－|x－4|2的解集为(－∞，－7)∪53，＋∞.(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象如图5－6－1可知，当x＝－12时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－92.【互动探究】1．若不等式|x－4|＋|x－3|a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是()Ca≥3或a≤1A．a7B．1a7C．a1D．a≥12．(2010年广东佛山检测)若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为____________.解析：设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|，因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，所以|a－2|≥1，解得：a≥3，或a≤1.1．利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负．2．放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．3．特别注意：对于含绝对值的不等式，从2010年高考开始由选考内容改为必考内容，成为这两年高考的热点，特别是2010年的压轴题就是绝对值不等式，应掌握绝对值不等式的解法和利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|证明不等式的基本方法．4．含绝对值不等式的解法：等价转化法、分类讨论法及平方法．5．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a＋b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).1．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程．混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍．要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误．利用反证法证明问题是从否定结论入手的，没有使用假设命题而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．应用定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求解基本问题时，要注意等号成立的条件．特别注意不等式|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．