排列与组合综合问题

第三课时排列与组合的综合问题自主学习利用排列组合的基本概念解决排列组合的综合问题.课标导学1.排列、组合的应用题，是高考常见题型，重点考查有附加条件的应用问题．主要有以下三个方面：(1)以元素为主，______________优先考虑；(2)以位置为主，__________________优先考虑；(3)暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去__________________.前两者是直接法，后者是间接法．教材导读特殊元素特殊位置不符合条件的种数2．求解排列与组合问题的一般步骤是：(1)把具体问题化归为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用两个计数原理；(3)分析题目条件，避免重复或遗漏；(4)列出式子，准确计算．3.解决排列与组合应用问题常用的方法有：____________法、_____________法、两个原理法、特殊元素法、特殊位置法、_______________法、______________法等．直接间接捆绑插空解决排列、组合综合问题要遵循哪两个原则？提示：(1)按事情发生的过程进行分步：(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑；①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．1.(2010·高考北京卷)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27基础自测解析：可先排8名学生，有A88种，由于2位老师不相邻可采用插空方法，有A29种，共有A88A29种．故选A.答案：A2．12名同学合影，站成了两排，前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以不同调整方法的种数是C28A26，故应选C.答案：C3．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．解析：因为第一棒与最后一棒甲、乙均能传递，而丙不能传递最后一棒，分两类讨论：(1)丙传第一棒，此时传递方案有C12·A44＝48(种)；(2)甲、乙传第一棒，传递方案有A22A44＝48(种)．因此共有48＋48＝96种传递方案．答案：964．马路上有编号为1,2,3，…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的3只灯关掉，但不能同时关掉相邻的2只或3只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有________种．解析：关掉第一只灯的方法有7种，关掉第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑，由于每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，暗灯不在两端且任何2只暗灯不相邻，也就是在6只亮灯所形成的5个空隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C35＝10(种)，故满足条件的关灯的方法共有10种．答案：105．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,4,7,8}，从A∩B和(∁UA)∪(∁UB)中各取2个数字．问：(1)能组成多少个比6100大的四位数？(2)能组成多少个被5除余2的四位数？解：(1)A∩B＝{1,2,3,4}，(∁UA)∪(∁UB)＝{5,6,7,8}，(∁UA)∪(∁UB)中取6,7,8中的一个作千位数，有C13种；余下的三个数中任取一个有C13种；在A∩B中任取两个有C24种，把后面的3个数作为百位、十位、个位有A33种，所以所求四位数有C13·C13·C24·A33＝324(个)．(2)被5除余2的个位数只能是2或7，所求四位数有2C13·C24·A33＝216(个)．合作学习解决排列、组合应用题的方法(1)排列、组合的应用题是高考常见题型，重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面：①以元素为主，特殊元素优先考虑；②以位置为主，特殊位置优先考虑；③暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的部分，前两种是直接法，后者是间接法．思维聚焦(2)处理排列组合应用题常用的方法有①相邻元素归并法(又称捆绑法)；②相离元素插空法；③定位元素优先安排法；④有序分配依次分组法；⑤多元素不相容情况分类法；⑥交叉问题集合法；⑦混合问题先分组后排序法；⑧“至少”，“至多”问题间接排除法.涂色问题例1如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)思维激活[解析]如果用2种颜色，则有C26种颜色可以选择，涂上有C12种方法．如果用3种颜色有C36种颜色可以选择，涂上有3×2×(1＋2)＝18(种)方法．∴不同涂色种数为C26·C12＋C36·18＝390(种)．[答案]390练1如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48[解析]如题图，当花坛中的花各不相同时，共有A44种不同的种法；若在花坛中种植3种花，此时一种方法是A与C种的花相同有C14种，B，D各不相同有A23种，另一种方法是B，D相同，A，C各不相同，共有C14A23种，因此种植3种花时有2C14A23种；若在花坛中种植两种花，则只能是A，C相同，B，D相同，共有C14C13种．所以共有A44＋2C14A23＋C14C13＝24＋48＋12＝84(种)不同种法．故应选B.相同元素的排列问题例2某市有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．(1)图中共有多少个矩形？(2)从A点走到B点最短路线的走法有多少种？[分析](1)任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成；(2)从A点走到B点最短路线的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同．[解](1)在7条纵线中任选2条，在5条横线中任选2条，这样的4条线可组成1个矩形，故可组成矩形有C27·C25＝210个；(2)每条东西向街道分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短路线的走法无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向向东，另4段方向向北，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210种走法．(同样可以从10段选4段走南北方向，每个选法是1种走法)．[评析]要在实际问题中建立组合模型，就需要抓住特例进行分析，如在本题(1)中，注意一个矩形可由图中的两条横线和两条纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条，再从7条纵线中选2条即可，从而建立组合模型；而在(2)中，观察分析每条最短路线均由10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段由南向北的方向所组成．练2(2011·大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种[解析]依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.[答案]B分组与分配问题例36本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本；(4)平均分成三堆；(5)平均分给甲、乙、丙三人．[分析](1)是分组问题，常分三步进行，这三步完成之后，事件便宣告完成；(2)与(1)类似，甲得一本，乙得二本，丙得三本，事实上就是(1)的分组问题；(3)是在(1)的基础上再进行分配；(4)是平均分组问题，它与次序无关；(5)是在(4)的基础上再进行分配．[解](1)先在6本书中任取一本，作为一堆，有C16种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有C25种取法，再从余下三本中取三本作为一堆，有C33种取法，故共有分法C16C25C33＝60(种)．(2)由(1)知，分成三堆的方法有C16C25C33种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为C16C25C33＝60(种)．(3)由(1)知，分成三堆的方法有C16C25C33种，但每一种分组方法又有A33种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有C16C25C33A33＝360(种)．(4)把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有x·A33种．而6本书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有C26种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有C24种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有C22种方法，所以一共有C26C24C22＝90(种)方法．所以xA33＝C26C24C22＝90，x＝15.(5)由4知平均分给甲、乙、丙三人有90种方法．[评析]6本书分给甲、乙、丙三人各两本和分成三堆，每堆两本是有区别的，前者虽然也属于平均分组问题，但需甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者又是分组问题，它与次序无关，所以要除以A33.一般地，n个元素中有n1(n1≤n)个元素，平均分成m组要除以Amm.练3有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？[解]此题关键是第(2)问，恰有1个空盒相当于一定有2个小球放在同一个盒子中，因此，先从4个不同的小球中取出2个放在一起(作为一个整体)，是组合问题．又因为4个盒子中只有1个是空的，所以另外3个盒子中分别放入2个，1个，1个小球，是排列问题．(1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法；(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看做三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法；(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种.排数问题例4从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[分析]排数问题和站队问题是排列、组合中的两类问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置，相邻问题、不相邻问题等的处理方法．[解](1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C34·C