历年文科全国高考椭圆题带解析

第六节椭圆强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c.又222bac所以222()4()acac.所以53ac.所以35cea.2.已知椭圆22221(yxabab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若AP2PB,则椭圆的离心率是()矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP2PB,则OA2OF,∴a=2c.∴12e.3.已知椭圆22221(yxabab0)的左、右焦点分别为1(0)Fc、2(0)Fc若椭圆上存在一点P使1221sinPFFsinPFFac则该椭圆的离心率的取值范围为.答案:(211)解析:因为在△12PFF中,由正弦定理得211221sinPFFsinPFFPFPF则由已知,得1211acPFPF即a|1PF|=c|2PF由椭圆的定义知|1PF|+|2PF|=2a,则ca|2PF|+|2PF|=2a,即|2PF|22aca由椭圆的几何性质知|2PF|a+c,则22acaa+c,即2220cca所以221ee解得21e或21e.又(01)e故椭圆的离心率(211)e.4.椭圆22192yx的左、右焦点分别为1F、2F点P在椭圆上,若|1PF|=4,则|2PF|=;12FPF的大小为.答案:2120解析:∵2292ab∴22927cab.∴|12FF|27.又|1PF|=4,|1PF|+|2PF|=2a=6,∴|2PF|=2.又由余弦定理,得cos2221224(27)12242FPF∴12120FPF,故应填2,120.5.已知椭圆22221(yxabab0)的离心率32e连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).①若|AB|425求直线l的倾斜角;②若点0(0)Qy在线段AB的垂直平分线上,且QAQB=4.求0y的值.解:(1)由32cea得2234ac.再由222cab解得a=2b.由题意可知12242ab即ab=2.解方程组22abab得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214xy.(2)①由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为11()xy直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).于是A,B两点的坐标满足方程组22(2)14ykxxy消去y并整理,得2222(14)16(164)0kxkxk.由212164214kxk得2122814kxk.从而12414kyk.所以|AB|222222241284(2)()141414kkkkkk.由|AB|425得224142514kk.整理得42329230kk即22(1)(3223)0kk解得1k.所以直线l的倾斜角为4或34.②设线段AB的中点为M,由①得M的坐标为22282()1414kkkk.以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是0QA(2)y0QB(2)y.由QAQB=4,得022y.(ⅱ)当0k时,线段AB的垂直平分线方程为222281()1414kkyxkkk.令x=0,解得02614kyk.由0QA(2)yQB110()xyyQAQB10102()xyyy222222(28)646()14141414kkkkkkkk42224(16151)4(14)kkk整理得272k.故147k所以02145y.综上022y或02145y.课后作业巩固提升见课后作业A题组一椭圆的离心率问题1.椭圆22221(yxabab0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是()聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A.2(0]2B.1(0]2C.[211)D.1[1)2答案:D解析:|AF|22abccc而|PF|ac所以2bacc即2210ee解得112e.2.已知12FF是椭圆的两个焦点,过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△2ABF是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A.32B.22C.21D.2答案:C解析:根据题意:2145AFF2222bceea1=0,又(01)e∴21e.3.设椭圆22221(0yxmmnn0)的右焦点与抛物线28yx的焦点相同,离心率为12则此椭圆的方程为A.2211216yxB.2211612yxC.2214864yxD.2216448yx答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由12e可得m=4,∴22212nmc.故选B.题组二椭圆的定义4.设P是椭圆2212516yx上的点.若12FF是椭圆的两个焦点,则|1PF|+|2PF|等于()A.4B.5C.8D.10答案:D解析:因为a=5,所以|1PF|+|2PF|=2a=10.5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆2214yx的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为13的点P的个数为()酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A.1B.2C.3D.4答案:D解析:联立方程组2222014xyyx消去y整理解得:02xy或10xy|AB|5结合图象知P的个数为4.题组三椭圆的综合应用6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。答案:221369yx解析:32122eaa6,b=3,则所求椭圆方程为221369yx.7.已知1F、2F是椭圆C:22221(yxabab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且12PFPF.若△12PFF的面积为9,则b=.答案:3解析:依题意,有1212222122184PFPFaPFPFPFPFc可得2436c24a即229ac∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy中1212AABB为椭圆22221(yxabab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线12AB与直线1BF相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。答案:275解析:直线12AB的方程为:1yxab;直线1BF的方程为:1yxcb;二者联立解得点()2()bacacTacac则OT中点()()2()bacacMacac在椭圆22221(yxabab0)上,222222()11030()4()acccacaacac3e10e-3=0,解得275e.9.已知椭圆C:2212xy的两焦点为12FF点00()Pxy满足2200012xy则|1PF|+|2PF|的取值范围为,直线02xx01yy与椭圆C的公共点个数为.答案:[222)0解析:延长1PF交椭圆C于点M,故|12FF||1PF|+|2PF||1MF|+|2MF|=2a,即2|1PF|+|2PF|22;当00y时2002x直线0012xxyy为x=02(2)(2)x与椭圆C无交点当00y时,直线0012xxyy为0012xxyy代入2212xy中有222000()222xyxxx2020y∵2222000044()(22)2xxyy22008(1)02xy∴直线与椭圆无交点.10.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且2BFFD则椭圆C的离心率为.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。答案:33解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由2BFFD得(c,-b)=2(x-即2()2cxcby解得322cxby3()22cbD.由2BFFD可得|FD|12|BF|2a①又由椭圆第二定义知,|FD|2233()()22acaccecca.②由①②解得223ac即213e∴33e.11.如图,椭圆C:22221yxab的顶点为1212AABB焦点为12FF|11AB|71122BABAS11222BFBFS.(1)求椭圆C的方程;(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,|OP|=1.是否存在上述直线l使0OAOB成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解:(1)由|11AB|7知227ab①由112211222BABABFBFSS知a=2c,②又222bac③由①②③,解得2243ab故椭圆C的方程为22143yx.(2)设A,B两点的坐标分别为1122()()xyxy假设使0OAOB成立的直线l存在,①当l不垂直于x轴时,设l的方程为由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得211mk即221mk.由0OAOB得12120xxyy.将y=kx+m代入椭圆方程,得222(34)8(412)0kxkmxm由求根公式可得122834kmxxk④212241234mxxk.⑤121212120()()xxyyxxkxmkxm221212(1)()kxxkmxxm将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0kmkmmk.⑥将221mk代入⑥并化简得25(1)0k矛盾即此时直线l不存在.②当l垂直于x轴时,满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1,则A,B两点的坐标为33(1)(1)22或(-133)(1)22当x=1时33(1)(1)22OAOB504当x=-1时3(1)(12OAOB325)04∴此时直线l也不存在.综上可知,使0OAOB成立的直线l不存在12.如图,已知椭圆22221yxab（ab0)过点2(1)2离心率为22左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为AB和C鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。DO为坐标原点(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF,PF2的斜率分别为1k,k2.(ⅰ)证明:12312kk.(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OAOBOCOD的斜率kOA,kOB,kOC,kOD满足+OAk+0OBOCODkkk?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解:(1)因为椭圆过点22(1)22e所以22211122caab.又222abc所以21abc1.故所求椭圆的标准方程为2212xy.(2)(ⅰ)证明:方法一: