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第六章样本及其分布6.1简单随机样本一、略。二、下列nXXX,,,21L是否为简单随机样本，并说明理由．1．袋中装有100只球，其中红、白色球各50只，随机取20只，每次取一只，不放回，记：，i，iXi次取到的是白色球第次取到的是红色球第îíì=,0,1)20,,2,1L=i．2．nXXX,,,21L相互独立，),,2,1(1}{kikiXPkL===．3．n221,,,xxxL相互独立且都服从参数为1的指数分布，},min{12+-=iniiXxx),,2,1(niL=．4．将一颗骰子掷n次，iX表示第i次出现的点数．解：（1）1005010050991004950}1,1{´¹´´===jiXXP}1{}1{=×==jiXPXP，2021,,XXXL不独立，所以2021,,XXXL不是简单随机样本。（2）nXXX,,,21L分布不同，所以nXXX,,,21L不是简单随机样本。（3）因为),(12+-inixx与),(12+-jnjxx相互独立，所以nXXX,,,21L相互独立，且都服从期望为21的指数分布，故nXXX,,,21L是简单随机样本。（4）独立试验，所以nXXX,,,21L相互独立，1{}(1,2,,)6kPXiin===L与k无关，所以nXXX,,,21L分布相同，故nXXX,,,21L是简单随机样本。三、设1021,,XXXL是取自总体),1(~pBX的一个样本，其中10p，p未知．1．写出样本的联合分布．2．指出以下样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量．å==101110jjXT，)(1102XEXT-=，pXTi-=3，},,,max{10214XXXTL=．解：（1）)1,0()1(}{1=-==-xppxXPxx，仅内部使用åå==--====1011011010102211)1(},,,{iiiixxppxXxXxXPL，各1,0=ix；（2）41,TT是统计量．四、设总体),4,(~mNXnXXX,,,21L为取自总体的一个样本，X为样本均值．1．求),,(1nXXL的联合概率密度；2．指出iniXTXTXXT££=-=+=13322211min,,2m中哪些是统计量，哪些不是统计量．解：（1）)(21)(222)(+¥-¥=--xexfxsmsp，),,2,1(,)2(21)(),,,(12)(812121nixexfxxxfixnnniinniiLL-+¥-¥==å=--=Õmp；（2）31,TT是统计量．6.2抽样分布一、略。二、在总体)3.6,52(2N中，随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率．解：÷÷øöççèæ363.6,52~2NX，所以þýüîíì---=63.6528.5363.65263.6528.50}8.538.50{XPXP8293.0)143.1()714.1(=-F-F=。三、设321,,XXX为取自总体),0(~2sNX的一个样本，求ïþïýüïîïíì³÷÷øöççèæ+72.7923231XXXXP．解：()2322123231XXXXXXX+=÷÷øöççèæ+，)2,0(~221sNXX+，)1,0(~2)(21NXXs+，仅内部使用)1(~2)(22221csXX+，)1(~2223csX，因为21XX+与3X相互独立，所以)1,1(~2123231FXXXX÷÷øöççèæ+，故ïþïýüïîïíì³÷÷øöççèæ+=ïþïýüïîïíì³÷÷øöççèæ+86.392172.792323123231XXXXPXXXXP10.0}86.39)1,1({=³=FP。四、设总体)2(,,,),,(~2212³nXXXNXnLsm是来自总体的简单样本，2121)2(,21XXXYXnXinniinii-+==+==åå，求])2([21XXXEinini-++=å．解：设iniiXXZ++=，则()),,2,1(2,2~2niNZiL=sm，XXnXXnZniiniini21)(1211==+=åå==+，()21221)1()2(SnZZXXXYniiinnii-=-=-+=åå=+=，由定理知)1(~2)1(222--nSncs，所以)1(2)]1(2[)(])2([22221-=-==-++=ånnEYEXXXEininiscs。五、求总体)2,15(2N的容量分别为20，30的两独立样本平均值差的绝对值小于3.0的概率．解：设YX,分别表示两个样本均值，因为X与Y相互独立，所以01515)(=-=-YXE，31302202)(22=+=-YXD，÷øöçèæ-31,0~NYX，故=-}3.0{YXP397.01)52.0(2313.031=-F=ïþïýüïîïíì-YXP。仅内部使用自测题（第六章）一、略。二、略。三、（18分）设总体)(~2nXc，1021,,,XXXL是来自总体X的一个样本，求)(XE，)(XD，)(2SE．解：因为)()(XEXE=，nXDXD)()(=，)()(2XDSE=，X的密度函数为ïîïíì£G=--0,00,)2(21)(2122xxexnxfxnnò¥+--=G=02122)2(21)(ndxexnxXExnn，ò¥+--+=G=0212222)2()2(21)(nndxexnxXExnn，nnnnXEXEXD2)2()]([)()(222=-+=-=，所以当样本容量为10时，nXEXE==)()(，510210)()(nnXDXD===，nXDSE2)()(2==。四、（16分）设在总体),(~2smNX中抽取容量为16的一个样本，其中2,sm均未知，1．求þýüîíì£041.222sSP，其中2S是样本方差；2．求)(2SD．解：（1）由)1(~)1(222--nSncs，得)15(~15222csS，}615.30)15({041.21515041.222222£=þýüîíì´£=þýüîíì£cssPSPSP99.001.01}615.30)15({12=-=-=cP。（2）由301521522=´=÷÷øöççèæsSD，30)(15242=SDs，得22421521530)(ss==SD。仅内部使用五、（16分）设nXXX,,,21L是取自总体)2,0(~2NX的一个简单随机样本，且有243221)43()2(XXbXXaY-+-=，试求a与b，使统计量Y服从2c分布，并求自由度．解：Y服从2c分布，当且仅当)1,0(~)2(21NXXaU-=，)1,0(~)43(43NXXbV-=，12025)]2([221==´=-aaXXaD，1100225)]43([243==´=-bbXXbD，于是1001,201==ba；由于U与V是相互独立的标准正态随机变量，所以)2(~222cVUY+=，即自由度为2。六、（10分）设nXXX,,,21L是取自总体X的一个简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差，证明：若3,1,0)(==kXEk，则X与2S不相关．证：只要证明0),(2=SXCov。因为0)(=XE，所以)()()(),(222SEXESXESXCov-=)(2SXE=úûùêëé÷øöçèæ--=å=21211XnXXEnnii)(1)1(13112XEnnXXEnnnjniij--÷øöçèæ×-=åå==÷øöçèæ××--÷øöçèæ×-=ååååå=====nkknjjniinjniijXXXEnnnXXEnn1113112)1()1(1-úûùêëé+-=åå=¹niijijiXXEXEnn123)()()1(1úûùêëé+-åå=nikjikjiiXXXEXEnn1,,22)()()1(1不全等仅内部使用因为jiXEi¹=,0)(3时，0)()()(22==ijijXEXEXXE，当kji,,不全等时，0)(=kjiXXXE，所以0),(2=SXCov，即X与2S不相关。第七章参数估计7.1参数的点估计一、随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）:74.00174.00574.00374.00174.00073.99374.00674.002试求总体均值m及方差2s的矩估计值，并求样本方差2s．解：0014.74)002.74005.74001.74(8181ˆ81=+++===å=Liixxm；581222103733.1)(81ˆ-=´=-==åiinxxss；52122105696.11)(11-=´=-=--=ånniisnnxxns。二、工厂试生产一种产品，每天加工到出现次品为止，两周（共10天）的生产记录分别为（单位：件）2，4，6，1，3，5，2，1，2，4．试求一天加工出3件产品的概率的极大似然估计和矩估计．解：),,2,1()1(}{1nxppxXPxL=-==-，å=-=--=-=ÕniiixnnixpppppL1)1(11)1()1()(，å=--+=niipxpnL1)1ln()1(lnlnå=---+=niipnxppn1)1ln()1ln(ln，令0ln=dpLd，得xp1ˆ=；3)442(101101101=+++==å=Liixx，31ˆ=p，所以27431131}3{ˆ2=÷øöçèæ-==XP为所求的极大似然估计值。pXXE1)(===m，311ˆ==xp，所以27431131}3{ˆ2=÷øöçèæ-==XP为所求的矩估计值。仅内部使用三、设nXX,,1L为总体X的样本，X的密度函数为：îíì-+=其它01,10)1()(bbbxxxf求参数b的矩估计与极大似然估计．解：òò++=+==¥+¥-1021)1()()(bbbbdxxxdxxxfXE，令XXE=)(，得：XX--=112ˆb为b的矩估计量；ÕÕ==+==niinniixxfL11)1(),()(bbbb，),,2,1,10(nixiL=å=++=niixnL1ln)1ln(lnbb，),,2,1,10(nixiL=令0ln1ln1=++=å=niixndLdbb，得å=--=niixn1ln1ˆb；从而å=--=niiXn1ln1ˆb为所求的极大似然估计量。四、设nXX,,1L为总体X的样本，X的密度函数为：ïîïíì£-=其它,021,110,);(xxxfqqq其中q是未知参数)10(q，记N为样本值nXXX,,,21L中小于1的个数，求：1．q的矩估计；2．q的极大似然估计．解：（1）qqqqqqm-=-+=-+===òòò¥+¥-23)1(2321)1();()(1021xdxxdxdxxxfXE，令XXE=)(，得：X-=23ˆq为q的矩估计量；（2）NnNniixfL-=-==Õ)1(),()(1qqqq，)1ln()(lnlnqq--+=NnNL，令01ln=---=qqqNnNdLd，得：nN=qˆ为q的极大似然估计量。仅内部使用五、设灯泡寿命X服从参数为q的指数分布，其中0q未知，抽取10只测得寿命（单位：h）1.997=x，求参数q的矩估计值和}1300{XP的极大似然估计值．解：q=)(XE，令XXE=)(，得：X=qˆ，所以1.997ˆ==xq为q的矩估计值；qqxxeexFxXPxXP--=--=-=£-=)1(1)(1}{1}{，)0(1),()(11==ÕÕ=-=inixniixexfLiqqqq，å=--=niixnL11lnlnqq，令01ln12=--=å=niixndLdqqq，得：x=qˆ为q的极大似然估计值，所以}1300{XP的极大似然估计值为2715.0}1300{ˆ1.9971300==-eXP。7.2估计量的优良准则一、设nXXX,,,21L是取自泊松总体)(~lpX的一个简单随机样本，试求2l的无偏估计．解：222)]([)()(ll+=+=XEXDXE2)(l+=XE，得：)()(22XEXE-=l，所以XXnXAnii-=-=å=12221ˆl，且22)ˆ(ll=E，故2ˆl为2l的无偏估计