A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

精选手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2)DCAE(3)AE与DC之间的夹角为60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)BH平分AHC(7)ACGF//变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，精选证明（1）DBCABE（2）DCAE（3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2）DCAE(3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H精选问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,,EBCBCBEABD,连结AE与CD，精选问：（1）DBCABE是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？例5：如图，点A.B.C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类精选☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD【例1】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．MCBA【练1】在△ABC中，59ABAC，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBCECFC．DABCEDABCFEDCBANDCBAM精选FECBA【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．FEDCBA【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEFFEDCBA【练2】如图，在△ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG.精选【练3】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．GFEDCBA【练4】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFACDEB【例3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．FEMCBA【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．精选FEDCBA【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.【练3】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND．（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．MNDABC【例4】如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）精选【练2】如图，在ABC中，ABCD，BDABAD，AE是BD边的中线.求证：AEAC2【例5】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．EDCBA【练1】已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．求证：2CDCEEDCBA【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.精选【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.精选★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，精选DOECBA全等)【例10】如图所示，ABC中，0045,90BC，AD平分BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。【练1】如图所示，在ABC中，060B，ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。【练2】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90∘，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.DACBOEDABC精选NMDCBA【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：∠DBC＝21∠BAC．【例12】如图所示，已知21，P为BN上一点，且BCPD于D，AB+BC=2BD，求证：0180BCPBAP。21DMBCPNAC精选EDBCADCBA【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA【例13】如图所示，在ABCRt中，AB=AC，090BAC，CBDABD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。【练1】已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．【练2】如图所示，在ABC中，090ABC，AD为BAC的平分线，C=300，ADBE于E点，求证：AC-AB=2BE。DACEB精选【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF【练4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知AB//CD，BCDABC,的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。EDBACFECABD精选【练1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．【练3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论FEABCDPEDCBA精选【例15】如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PCA12PBC【练1】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．MFECBA如图，E是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。构造等边三角形1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60∘，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.DFDCAOBE精选2、在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.DCBA练习1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm精选练习2、在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：'''CBAABC.（倍长中线）练习3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C练习4、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？ABCDA'B'C'D'精选请直接写出结果，不需说明理由．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，有过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE＝BD－CE．（思路：截长补短法）如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60∘,BD+DC=AB.求证：∠A