第5讲第4章--久期与凸度(1)

第五讲第4章债券价格波动性的衡量•4.1债券价格的利率敏感性•4.2债券的久期•4.3债券的凸度•4.1债券价格的利率敏感性思考：如何从经济学意义上解释债券价格与收益之间存在反向变动关系？–4.1.1债券定价法则（参P54-P57）关于债券价格的利率敏感性，以下6条法则已经得到证明：1）债券价格与收益呈反向变动关系：当收益上升时，债券价格下降；当收益下降时，债券价格上升。2）债券收益变化引起的价格变化具有不对称性，即由收益上升引起的价格下降幅度低于由收益的等规模（相同的基本点）下降引起的价格上升的幅度。3）长期债券比短期债券具有更强的利率敏感性，即对于等规模的收益变动，长期债券价格的变动幅度大于短期债券。4）当到期期限增加时，价格对收益变化的敏感性以一下降的比率增加，即债券价格的利率敏感性的增加低于相应的债券期限的增加。5）债券的息票利率越高/低，由收益变动引起的价格变动的百分比越小/大。也就是说，息票利率较高的债券，其价格的利率敏感性低于息票利率较低的债券。6）当债券的初始到期收益率较低时，价格的利率敏感性较高。图4-1中四种债券的收益-价格关系曲线可以说明上述6条法则。前五条称为马凯尔债券价格五大定理。–4.1.2影响利率敏感性的因素上述6条法则中的后面4条指出了影响利率敏感性的三个主要因素，即到期期限、息票利率和到期收益率。从表4-1和execel中的数据都可以看出这三个因素是如何影响利率敏感性的。同时，第1条和第2条法则也能够由表中的数据得到体现。表4-19种债券的价格息票利率（％）到期期限（年）到期收益率（％）10.009.008.007.000.00561.3964.3967.5670.890.001523.1426.7030.8335.630.00305.357.139.5112.698.00592.2896.04100.00104.168.001584.6391.86100.00109.208.003081.0789.68100.00112.4710.005100.00103.96108.11112.4710.0015100.00108.14117.29127.5710.0030100.00110.32122.62137.424.1.3单位基点价格值PriceValueofaBasisPoint与单位价格变动的收益率值YieldValueofaPriceChange•收益率变化一个基点时债券价格的变化。•这里是价格变化的绝对值。•单位价格变动的收益率值是指在债券价格变化时收益率的变动幅度。一般债券价格的变动幅度为1/32或1/8，即债券在进行交易时价格变动的最小单位。•4.2债券的久期（P60-73)–4.2.1久期的含义久期也称为麦考利期限，或有效期限，或存续期间。简单的说，它是债券的平均到期期限。一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct（1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益率为y。则债券的价格为（4-1）债券久期为1(1)TtttCPy1(1)[]ttTtCyDtP（4-2）例4.1假设有一2年期的债券，票面利率为8％，收益率为8％，期满支付本金100元，半年付息一次，则此债券的久期为多少？小结：附息票债券的久期比它的到期期限短。•思考：1.结合上例，如何来理解久期与到期期限的区别？•2.式（4-1）与（4-2）的付息方式4.2.2一般付息债券的久期例4.2假设有一零息债券，6年后到期、每年记一次利息、面额1000元，收益率为8％，则此债券的久期为多少？小结：零息票债券的久期等于它的到期期限短。•思考：•付息方式对于上式久期的影响4.2.3零息债券的久期永续债券的久期：小结：永续债券的久期有限，而它的到期期限却是无穷大。•思考：到期期限较长的债券，其久期是否一定比到期期间短的债券长，为什么？4.2.4永续债券的久期yDmac11•对于半年付息的Macaulay久期，可以采用下面的简化公式来计算：•其中：y是年收益率的1/2；H是利息现值之和占债券价格的比率；i是半年的利率；n是利息支付次数。)1()()1()(HnyiyHyyMacaulay半年久期–4.3久期的经济意义–4.3.1利用久期测度利率敏感性将式（4-1）看作P与1+y之间的函数，可以有对于P和1+y的微小变化，有（4-3）这表明，债券价格的利率敏感性与久期成比例。久期的经济意义：债券价格对利率微小变动时的敏感度。111(1)(1)1TttttCdPPDdyyy(1)1PyDPy令D*=D/(1+y)，Δ(1+y)=Δy，式（4-3）可以写为（4-3’）通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期”。式（4-3’）表明，债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率变化的乘积。因此，修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。•思考：已知2年期息票债券的久期为1.8853年。如果有期限为1.8853年的一张零息票债券，两者的利率敏感性是否相同？*PDyP•例4.3设有一张6年期的公司债，票面利率为8％，而市场要求利率为8％，已知久期为4.993。若当期利率上升一个基本点，也就是从8％上升到8.01％，则此公司债券价格会如何变动？–4.2.3什么决定久期影响利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。以下的8个法则归纳了久期与这三个因素之间的关系。图4-2表明了这些法则。久期法则1：到期日相同时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。例4.4若有3种债券，票面利率均为6％，收益率也为6％，但1张为5年期，1张为10年期，另外1张则为永续债券。分别求它们的久期。•久期法则2：当息票利率相同时，债券的久期通常随着债券到期期限的增加而增加，但久期的增加速度慢于到期期限的增加速度。•久期法则3：在其他因素都不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。•久期法则4：由于息票债券以面值出售，法则可简化为nnttmacynyytD)1()1(114.4久期的衍生课题•4.4.1修正的久期与美元久期yPPmyDDmac1modPDyPDdolmod例4.5有1张3年期的零息债券，一年记一次利息，到期收益率为6％，面额100万元。现今市场由于银根宽松，所以到期收益率下降10个基本点，则此债券的价格波动性比例为何？波动的金额又是多少？•解答：（1）即利率下降0.1％，债券价格上涨2.83*0.1％＝0.283％即利率下降0.1％，债券价格会上涨2376280*0.1％＝2376.280元)(3年macD)(83.206.1/31mod年myDDmac（元）283.839619)06.01(1003P)(2376280283.83961983.2mod元PDDdol4.4.2投资组合的久期的计算•例4.6假设现在为1997年6月30日有3种债券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的比例持有这三种债券，求此投资组合的久期。债券类别票面利率％到期日面额价格A71998.12.3110000099.561B7.51999.12.31100000100.562C61998.6.3010000098.8154.4.3浮动利率债券的久期2121211111yPCyPyCP思考题：为什么债券投资组合的久期与修正久期是以市值的比重，而美元久期却以持有张数为比重来计算？4.4.5债券久期的近似计算例一债券收益率为11％时，价格为96.2312；收益率增加10个基本点时，价格为95.4490；收益率减少10个基点时，价格为96.9704。根据上式可得，债券的近似久期为)(0yyPPP近似久期＝65.7)054.0056.0(2312.964990.959704.96•4.5债券的凸度–4.5.1久期的局限性根据式（4-3’），债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为998.875元。然而，从图4-1以及关于债券价格的利率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。从图4-3还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。–4.5.2债券凸度的计算价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度（convexity）。凸度意味着债券的价格-收益曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率的变化率。由式（4-3’）可以得可见，D*是价格-收益曲线的斜率，凸度等于D*对y的导数。1*dPDPdy*Dy求出，可得付息周期数为n，周期收益率为y的债券的凸度计算公式如下：其中，Ct为t时刻的现金支付。利用下面的公式可把分期限计算的凸度转化为按年计算的凸度：其中m为每年的付息次数。对于零息票债券，有21(1)1(1)(1)ntttttCPyy凸度*Dy2m凸度(分期限算)凸度(按年算)2(1)(1)nny零息票债券凸度例4.7债券面额100元，到期期限5年，票率6％，利率也是6％，半年付息一次，求债券变动一个百分点债券价格将作何变动？变动金额是多少？•4.5.3债券投资组合的凸性–4.5.4考虑凸度的利率敏感性考虑凸度后，式（4-3’）可以修正为：（4-4）由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。21*()2PDyyP凸度4.5.5凸度的近似计算20000)(2yPPPyyPPyPP例：一5年期债券，票面利率为8％，收益率为9％（价格为96.04364元），收益率上升20个基点时，价格为95.27563，收益率下降20个基点时，价格为96.81929。求其凸度。