第7讲第4章--久期与凸度(3)

第7讲第4章债券价格波动性的衡量(3)•4.1债券价格的利率敏感性•4.2债券的久期•4.3债券的凸度4.4.2投资组合的久期的计算•理论计算例4.6假设现在为1997年6月30日有3种债券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的比例持有这三种债券，求此投资组合的久期。债券类别票面利率％到期日面额价格A71998.12.3110000099.561B7.51999.12.31100000100.562C61998.6.3010000098.815实务计算•投资组合的久期•投资组合的修正久期•投资组合的美元久期•Portfolio’sresponsivenesstoparallelchangesininterestratesniiiDWD1modmodnidoliidolDXD1nimaciimacDWD14.4.3浮动利率债券的久期2121211111yPCyPyCP思考题：为什么债券投资组合的久期与修正久期是以市值的比重，而美元久期却以持有张数为比重来计算？2.假设浮动利率债券没有到期日1.如果浮动利率债券到期日为T时刻，其久期如何计算？4.4.4补充说明修正的久期和有效久期(effectiveduration)a)久期债券价值关于利率敏感性的一般描述b)修正的久期假设当收益率改变时，债券的期望现金流不变，债券在收益率发生100个基点变化时的价格近似百分比变化在收益率改变时，债券价格的变化仅仅因为贴现率(新的收益率水平)的变化引起仅对没有嵌入期权的债券(option-freebonds)有意义当债券有嵌入的期权(bondswithembeddedoptions)时，收益率的变化，将可能导致债券期望现金流的变化于是，在应用久期公式计算久期时，必须考虑债券期望现金流与收益率之间的相互影响c)有效久期(期权调整的久期)计算债券价值是考虑收益率的改变可能引起债券期望现金流变化债券价格计算是同时考虑贴现率和期望现金流的可能变化对于有嵌入期权的债券，有效久期与修正的久期通常不相等有效久期可以大于修正的久期；有效久期也可以小于修正的久期d)比较(例)没有嵌入期权的债券：有效久期等于修正的久期可赎回债券：修正的久期为5，有效久期为3；担保抵押债务(CMO):修正的久期为7,有效久期为20债券久期的近似计算例一债券收益率为11％时，价格为96.2312；收益率增加10个基本点时，价格为95.4490；收益率减少10个基点时，价格为96.9704。根据上式可得，债券的近似久期为)(0yyPPP近似久期＝65.7)054.0056.0(2312.964990.959704.96•4.5债券的凸度–4.5.1久期的局限性根据式（4-3’），债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。例如，图4-3中的债券A为30年期、8％息票利率、初始到期收益率8％的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.26×0.0001＝0.001126，即0.1126％。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为998.875元。然而，从图4-1以及关于债券价格的利率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。从图4-3还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。–4.5.2债券凸度的计算价格-收益曲线的曲率就称为债券的凸度（convexitymeasure）。凸度意味着债券的价格-收益曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率的变化率。由式（4-3’）可以得可见，Dmod是价格-收益曲线的斜率，凸度等于Dmod对y的导数yPPD1modyDmod求出，可得付息周期数为n，周期收益率为y的债券的凸度计算公式如下：其中，Ct为t时刻的现金支付。利用下面的公式可把分期限计算的凸度转化为按年计算的凸度：其中m为每年的付息次数。对于零息票债券，有21(1)1(1)(1)ntttttCPyy凸度2m凸度(分期限算)凸度(按年算)2(1)(1)nny零息票债券凸度yDmod•美元凸度PdyodyPyPdyPyPPdP))(()(1211222222:yPmeasureconvexitydollar))(()(212222dyodyyPdyyPdPPyPmeasureconvexity1:224.5.3凸度与美元久期4.5.4propertiesofconvexity•Property1:Astherequiredyieldincreases(decreases),theconvexityofabonddecreases(increases).Thispropertyisreferredtoaspositiveconvexity.•Property2:Foragivenyieldandmaturity,thelowerthecoupon,thegreatertheconvexityofabond.•Property3:Foragivenyieldandmodifiedduration,thelowerthecoupon,thesmallertheconvexity.4.5.4凸度的特性1、收益率增加，债券的美元久期减少；收益率减少，债券的美元久期增加。2、对于给定的收益率和到期期限，票面利率越低，债券的凸度越大。3、给定收益率和修正久期，票面利率越低，债券的凸度越小。4、久期增加时，凸度以加速度增加。•凸性的价值例4.7债券面额100元，到期期限5年，票率6％，利率也是6％，半年付息一次，求债券变动一个百分点债券价格将作何变动？变动金额是多少？4.5.5债券投资组合的凸性（与债券投资组合久期的计算类似）•理论计算•实务计算–4.5.6考虑凸度的利率敏感性考虑凸度后，式（4-3’）可以修正为：（4-4）由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。21*()2PDyyP凸度小结：凸性①凸性被用来近似描述不能被久期解释的价值变化②凸性度量(convexitymeasure)的计算(一种形式)例：对息票率为9%、期限20年的债券，如果到期收益率为6%，则对20基点的收益率变化，可得：C=81.96020022()VVVVyyVVyVy凸性(度量)收益率的变化初始价值如果收益率减少时债券价值如果收益率增加的债券价值20000)(2yPPPyyPPyPP③价值变化的凸性调整价值变化百分比的凸性调整=凸度×(△y)2×100%③调整的债券价格变化近似百分比债券价格变化近似百分比=-Dmod×△y×100%+凸度×(△y)2×100%例(续)：如果收益率从6%增加到8%，价值变化百分比的凸性调整=81.96×(0.02)2×100%=3.28%基于久期的债券价格变化近似百分比=-Dmod×△y×100%=-21.32%债券价格变化总的近似百分比=-21.32%+3.28%=-18.04%而债券实际价格变化为-18.40%，与近似值-18.04%很接近。如果收益率从6%减少到4%，价值变化的凸性调整仍然是3.28%。基于久期的债券价格变化近似百分比=-Dmod×△y×100%=21.32%债券价格变化总的近似百分比=21.32%+3.28%=24.60%而债券实际价格变化为+25.04%，与近似值+24.60%很接近。⑤凸性大于零：a)无嵌入期权的债券的凸性大于零b)对同样基点的收益率变化，赢利大于损失c)套利机会(久期相同，购买凸性大的债券；卖空凸性小的债券)？⑥凸性小于零：a)可赎回债券的凸性小于零b)套利机会(久期相同，购买凸性小的债券；卖空凸性大的债券)？c)对同样基点的收益率变化，赢利小于损失例：对一可赎回债券，其有效久期为4，凸性为-30，对于200基点的收益率变化，价值变化百分比的凸性调整=-30×(0.02)2×100%=-1.2%如果收益率增加200基点，基于久期的变化=-8.0%,凸性调整=-1.2%估计的总价格变化=-8.0%-1.2%=-9.2%如果收益率减少200基点，基于久期的变化=+8.0%,凸性调整=-1.2%估计的总价格变化=+8.0%-1.2%=+6.8%⑦修正的凸性和有效凸性a)修正的凸性计算凸性时，假设当收益率变化时，债券期望的现金流不会改变b)有效凸性计算凸性时，假设当收益率变化时，债券期望的现金流可能会改变c)对无嵌入期权债券修正的凸性和有效凸性相同，且大于零d)对有嵌入期权债券修正的凸性和有效凸性通常不同修正的凸性大于零有效凸性可能小于零4.5.7凸度的近似计算200000)(2yPPPPyPyPPyPP例：一5年期债券，票面利率为8％，收益率为9％（价格为96.04364元），收益率上升20个基点时，价格为95.27563，收益率下降20个基点时，价格为96.81929。求其凸度。4.5.8可赎回债券的凸性•不可赎回债券的凸性是正的。但对于可赎回债券来说，情况有所不同。Don’tthinkofdurationasameasureoftime思考•为什么说用久期衡量利率风险时暗含一个重要假设：债券价格与利率的关系是线性的？•利用凸性来辅助久期衡量利率风险时，凸性的功能是如何体现的？questions1.Statewhyyouwouldagreeordisagreewiththefollowingstatement:asthedurationofazero-couponbondisequaltoitsmaturity,thepriceresponsivenessofazero-couponbondtoyieldchangesisthesameregardlessofthelevelofinterestrate.2.Statewhyyouwouldagreeordisagreewiththefollowingstatement:Iftwobondshavethesamedollarduration,yield,andprice,theirdollarpricesensitivitywillbethesameforagivenchangeininterestrates.3.Statewhyyouwouldagreeordisagreewiththefollowingstatement:Fora1-basispointchangeinyield,thepricevalueofabasi