概率论与数理统计(南理工)

概率与统计第三讲全概率公式开课系：理学院统计与金融数学系主讲教师:陈萍教授e-mail:[e-mail]留言扳三、独立性定义设A、B是两事件，若P(AB)＝P(A)P(B)(5.2)则称事件A与B相互独立。注：当P(A)≠0,式(5.2)等价于：P(B)＝P(B|A)两事件独立定理以下四件事等价(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证:(1)=(2)设A、B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),()()()()()()PABPBPABPBPAPB()[1()]()()#PBPAPBPA(4)=(1)设事件A、B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),()11()PABPABPAPBPAB1[1][1][1()][1()]PAPBPAPB1111()()()()()()#PAPBPAPBPAPBPAPB定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。多个事件的独立注:两两独立未必相互独立!例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.121414PAPBPCPABPBCPACPABC实，（）（）（）（）（）（）（）事上一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2…ikn，具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则独立吗？与CDBA2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518,0.496n架轰炸机独立地飞往目标投弹.已知每架飞机能够飞到目标上空的概率为p1,在目标上空投弹,命中目标的概率为p2.求目标被命中的概率.解:设Ai--第i架飞机能够飞到目标上空,i=1,…,n;B--目标被命中.1()()niiPBPAB11()niiPAB1211npp§6全概率公式与贝叶斯公式例6.1市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:::321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP1110.020.010.034420.0225)()()()(321BAPBAPBAPBP定义事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：.,...,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2……………AnB定理6.1(全概率公式)设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS有niiiABPAPBP1)|()()(＝定理6.2(贝叶斯公式)设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有),...,1(,)|()()|()()|(1niABPAPABPAPBAPnjjjiii思考：在例6.1中，若已知取到一个次品，则它是甲厂生产的概率是多少？22.00225.0)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP例6.3有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率？(2)若从乙袋中取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?甲乙解：设A——从甲袋放入乙袋的是白球；B——从乙袋中任取一球是红球；1(1)()(|)()(|)()PBPBAPAPBAPA甲乙74)()()|()()()|()2(BPAPABPBPABPBAP12317234312已知某种疾病的发病率为0.1%,该种疾病患者一个月内的死亡率为90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？45.0002.0001.09.0)()()|(002.0)()|()()|()(APABPABPBPBAPBPBAPAP解:设A:“某人在一个月内死亡”;B:“某人患有该种疾病”,则第一章小结本章包括六个概念:（随机试验、样本空间、事件、概率、、条件概率、独立性）五个公式:（加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）一个概型:古典概型--随机抽球，随机分球，随机取数例1从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。解:设双至少有两只鞋子配成一A法1：}{1)(APAp2113468101410A法2：2113)(1}A{1)(41041245CCCPAp12584102()3CCPAC例2(p21例5)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品.已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.11)|(0BAP,54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由Bayes公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP40.150.0854120.810.10.1519例3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.5,0.6,0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.3,被两人击中而被击落的概率为0.6,若被三人击中，则必被击落.求飞机被击落的概率.解:设Ai,i=1,2,3分别表示甲、乙、丙击中飞机;Bi,i=1,2,3分别表示有i人击中飞机;B:飞机被击落.由全概率公式,561.0)B()|()(i31PBBPBPii则29.0)()()()(3213213211AAAPAAAPAAAPBP44.0)()()()(3213213212AAAPAAAPAAAPBP21.0)()(3213AAAPBP例4．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5)()|(52413AAAAPAAP422pp)})({()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp一.判断对错1.某种疾病的发病率为1%，则每100人必有一人发病2.A，B为两事件，则AB-A=B3.“A，B都发生”的对立事件是“A，B都不发生”4.P(A)0,P(B)0,若A，B互斥，则A，B不独立.5.若A=，则A与任何事件即互斥又相互独立.6.假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为p，则由n个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为np.注课堂练习二.填空3.已知A与B相互独立，且互不相容则min(P(A),P(B))=解1.已知P(A)＝0.7，P(A-B)＝0.3，则解ABP2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等,则P(A)=解.4.设A,B是两个随机事件,且,,则必有证0()1,()0PAPB)(|)(|)APABPAB)(|)(|)BPABPAB)()()()CPABPAPB)()()()DPABPAPB)|()|(ABPABP三、设一人群中A、B、AB、O型血的人所占比例分别为37.5%、20.9%、7.9%、33.7%。已知能允许输血的血型配对如下表。现在该人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血成功的概率为多少？解输血者受血者A型B型AB型O型A型√Х√√B型Х√√√AB型√√√√O型ХХХ√四、某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1：2：1，出售灯泡时需试用.一、二、三级品在试用时被烧毁的概分别为0.1,0.2,0.3.一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率.解五、有两箱同类的零件,第一箱装50只,其中5只次品;第二箱装30只,其中5只次品.今从两箱中任取一箱,然后从该箱中任取两次,每次取一件,做不放回抽样.试求在第一次取到一件次品的条件下,第二次仍取到次品的概率.解