三角形的心

三角形三心的奧祕內心外心重心台中市立神圳國中吳紹華老師製作2020年4月20日星期一2商人想設一座加油站，距離附近的學校、遊樂園、醫院都一樣近，請問聰明的商人，應該將加油站設在哪裡呢?○學校○遊樂園○醫院解答:設在外心處加油站2020年4月20日星期一3外心1.外心的定義:ABCABCABC(綠)，(藍)，(紅)，三邊中垂線交點即為「外心」。o三角形三邊中垂線的交點稱為外心，常用字母O表示。中垂線BC中垂線AC中垂線AB(綠)，中垂線AB2020年4月20日星期一42.外心的位置ABCABCABCABCABCABC銳角三角形(在內部)鈍角三角形(在外部)直角三角形(在斜邊中點)(1)依三角形角度類型的區別而有不同的位置。ABCABCABCABC2020年4月20日星期一5◎銳角△ABE的外心(圓O)在三角形的內部。◎直角△ABD的外心(圓O)在三角形的斜邊中點。◎鈍角△ABC的外心(圓O)在三角形的外部。(2)呈現在同一個圓中2020年4月20日星期一6(1)外心到三頂點等距離。(2)若以外心為圓心，外心到三頂點的距離為半徑，可以畫出一個外接圓。(3)稱此點為「外心」，是因此點可畫出三角形的外接圓。(4)任意三角形皆可找到其外心與外接圓，且為唯一。(5)三角形ABC稱為圓O的圓內接三角形。3.三角形的外心與外接圓如圖(1)線段OA=線段OB=線段OC(2)圓O為△ABC的外接圓(3)O點為銳角△ABC的外心；△ABC為圓O的圓內接三角形ABCOOO2020年4月20日星期一7中垂線性質:(1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。(2)若有一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的中垂線上。(可用中垂線性質證明)4.外心重要性質:外心到三頂點等距離。PBPAP為中垂線上任一點2020年4月20日星期一85.三角形的外接圓與外心角度ABCOABCOD(1)若∠A為銳角，∠BOC＝2∠A(2)若∠A為鈍角，∠BOC＝360°－2∠AO2020年4月20日星期一9(1)三角形三邊中垂線的交點稱為外心(O)。(2)外心到三頂點等距。(以外心為圓心，可畫出該三角形的外接圓)(3)直角三角形的外心在斜邊中點上，直角三角形的外接圓半徑R=1/2斜邊長(4)直角三角形中，若有一銳角是30，則它所對的邊是斜邊之半。6.外心常考重點:2020年4月20日星期一10按我(用GGB找外心)7.動手摺紙找外心步驟1:摺出線段AB的中垂線。作法:將B點翻摺至A點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。2020年4月20日星期一11步驟2:摺出線段BC的中垂線。作法:將B點翻摺至C點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。2020年4月20日星期一12步驟3:摺出線段CA的中垂線。作法:將C點翻摺至A點，壓平後再展開，產生摺痕如圖示。三條中垂線的交點即外心O2020年4月20日星期一13步驟4:比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。2020年4月20日星期一14三角形三個內角角平分線的交點稱為三角形的內心，常用字母I表示。ABCABCABC1.內心的定義:內心三內角平分線交點即為「內心」。I2020年4月20日星期一152.內心的位置:任意三角形的內心均在三角形的內部。ABCABC銳角三角形內心ABCB直角三角形內心ABCABCABC鈍角三角形內心2020年4月20日星期一16(1)內心到三邊等距離。(2)若以內心為圓心，內心到三邊的距離為半徑，可以畫出一個內切圓。(3)稱為「內心」，是因此點可畫出三角形的內切圓。(4)任意一個三角形，均可找到其內心及內切圓，且為唯一。3.三角形的內心與內切圓:IRIQIPIRIQIP2020年4月20日星期一17(可用角平分線性質證明)4.內心重要性質:內心到三邊等距離。角平分線性質:(1)角平分線上的任一點到此角的兩邊等距離。(2)若有一點到某角的兩邊等距離，則此點會在該角的角平分線上。PCPB2020年4月20日星期一186.內心常考重點:(1)三角形三內角平分線的交點稱為內心(I)。(2)內心到三角形的三邊等距。(3)△ABC面積＝1/2×△ABC周長×內切圓半徑即A=1/2ιr(設ι為△ABC周長，r為內切圓半徑)(4)直角三角形的內切圓半徑r=1/2(兩股和－斜邊)。(5)ABIC21902020年4月20日星期一19按我(用GGB找內心)7.動手摺紙找內心步驟1:摺出角A的角平分線。(將AC邊摺疊到與AB邊重合)步驟2:摺出角B的角平分線。(將BC邊摺疊到與BA邊重合)最後攤開如圖示2020年4月20日星期一20步驟3:摺出角C的角平分線。(將CB邊摺疊到與CA邊重合)攤開，並將三條角平分線的交點命名為I點2020年4月20日星期一21步驟4:從I點做出與三邊垂直的虛線，比較這三條虛線是否真的等長。2020年4月20日星期一22小灰鼠買了一塊乳酪，想分享給弟弟(小藍鼠)，妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊乳酪，使得大家所分配到的大小都一樣呢?解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。2020年4月20日星期一23重心三角形三條中線的交點稱為重心，常用字母G表示。1.重心的定義:2.重心的位置:任何三角形的重心均在三角形的內部。銳角三角形ABCABCBC直角三角形ABCABCABC鈍角三角形ABCABCABC2020年4月20日星期一24(1)無法由「重心」畫出圓，與外心可畫出外接圓，內心可畫出內切圓不同。(2)稱為「重心」，是因為該點為此三角形的質量中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持平衡，不會傾斜。(3)重心到頂點的距離為重心到對邊中點的兩倍。3.重心重要特性:)D3(31D(4))23(32)3(2)2(1:2:)1(GADADGAGADADAGGDAGGDAG即即2020年4月20日星期一25按我(用GGB找重心)步驟1:摺出BC邊的中線(頂點A與BC邊中點的連線)。4.動手摺紙找重心2020年4月20日星期一26步驟2:摺出AC邊的中線。(頂點B與AC邊中點的連線)三中線交點即為重心G步驟3:摺出AB邊的中線(頂點C與AB邊中點的連線)2020年4月20日星期一27ABCGDEF三中線將原△分割成6塊等面積△△GAF面積＝△GAE面積＝△GBF面積＝△GBD面積＝△GCD面積＝△GCE面積。重心與三頂點的連線，將原△分割成3塊等面積△△GAB面積＝△GBC面積＝△GAC面積ABCG重心的三塊積重心的六塊積2020年4月20日星期一285.重心常考重點:(1)三角形三中線的交點稱為重心(G)。(2)重心到一頂點的距離，等於重心到其對邊中點之距離的兩倍。(3)重心與三頂點的連線，把原三角形的面積三等分。(4)三中線會將原三角形的面積六等分。2020年4月20日星期一29直角三角形的外心在斜邊的中點，且特殊三角形的三心AC61)21(3131(2)OC)1(ACOBOGOBOA2020年4月20日星期一30等腰三角形的外心、內心、重心都在同一條直線（底邊的中垂線）上。2020年4月20日星期一31正三角形的外心、內心、重心是同一點，且其外接圓半徑是內切圓半徑的2倍。)2(2)3(63233131GM)2(33233232GA(1)倍半徑的外接圓半徑等於內切圓內切圓半徑外接圓半徑若正三角形的邊長為GMGAaaAMaaAMa