测试技术(第三章-信号处理)

工程测试技术——郭世伟第三章信号处理初步一、数字信号处理基础傅立叶变换工程应用的“瓶颈”在于“计算”。以前的频谱分析用模拟仪器，价格昂贵，稳定性差，精度差。计算机技术的发展使数字信号处理成为现实，数字信号处理具有高度的灵活性、稳定性和精度等优点。数字信号处理（DSP），可用软件编程实现算法，或设计专用硬件芯片实现（如DSP）。离散傅立叶变换（DFT）是DSP的最基本理论，只有掌握其基本理论知识，才能很好地使用软件程序和芯片仪器。本节主要用图解推演的方法介绍DFT的基础知识。数字信号处理典型仪器设备连接图物理信号对象传感器电信号信号调理电信号A/D转换数字信号计算机显示D/A转换控制（一）DFT的图解推演用计算机对信号进行时域和频域分析处理，必须要离散数字化。对连续信号的DFT，一般可概括为三个步骤：时域采样，时域截断，频域采样。（可从傅立叶变换的数值计算上理解）1、时域采样用A/D转换器实现其分析过程由下图1详细说明（DTFT）2、时域截断相当于用矩形时窗w(t)与原信号相乘。见图23、频域采样见图3DFT实际上把一个有限长序列作为周期序列的一个周期来处理。时域信号及其频谱图（仅画出了幅频图）图1此时可再用低通滤波器得到原信号频谱图2图3（二）采样定理与频率混叠采样频率的问题不同信号可产生相同的序列采样定理：带宽有限的信号的最高频率为fmax，那么采样不失真的条件是采样频率fs≥2fmax。2fmax称为Nyquist（奈奎斯特）频率。没使用抗混淆滤波器时，折叠频率以上的那部分谱能量在低于该频率的范围内出现无限带宽信号引起混叠现象（实际的fs/2称为折叠频率）防混淆滤波器的频率特性在性能与成本间的折中（三）截断、泄露和窗函数时域截断引起频域泄漏现象，频谱产生失真，出现“假频”，降低频率分辨率。降低失真的方法是：（1）增加窗宽；（2）采用适当窗函数频谱能量泄漏汉宁窗与矩形窗的比较（四）量化误差可选用较大位数的A/D转换器减小量化误差。（五）栅栏效应离散频谱的频率分辨率提高频率分辨率的方法周期信号的“整周期截取”（六）快速傅立叶变换（FFT）不是一种新的变换方法，而是一种DFT的快速算法。MATLAB程序演示小结：抗混淆滤波器用于时域采样前；频率混叠和量化误差产生于时域采样阶段；加窗、频谱能量泄漏发生于时域截断阶段；栅栏效应发生于频域采样阶段。二、随机信号及其分析（一）随机信号的特征随机信号要为非确定性信号，不能用确定的数学式描述。随机信号不能准确预测与复现，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。随机信号只能通过大量观测记录，用数理统计的原理描述其特征。例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。下图为加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形。随机信号普遍存在于信号测试之中。实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互叠加的。对随机过程进行多次长时间的观测。每次观测为一个样本函数，有限时间区间内为一个样本记录。),(),(),()(21txtxtxtxi随机信号的统计参数有：均值、方差、均方值和均方根值等。介绍集合平均和时间平均概念NiiNxtxNt111)(1lim)(NiiNxtxNt11212)(1lim)(TiTxdxtxTi0)(1lim)(TiTxdxtxTi022)(1lim)(噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异根据随机信号统计特征是否随时间变化分类：随机信号的分类：非平稳随机信号随机信号非各态历经随机信号平稳随机信号各态历经随机信号平稳随机信号的集合平均值、方差值等不随时间改变，为常数值。对于各态历经随机信号，其任意样本函数均包括了该随机信号的全部特征。可从单个样本函数中取若干样本记录，用其时间平均的统计特征来估计整个随机信号的特征。实际工程中的随机过程大多为各态历经性的，或在某一范围内具有各态历经性。以下均指的是各态历经性随机信号。（二）信号的幅值域分析各态历经随机信号的幅值域分析主要有：均值、均方值、方差等数字特征参数，以及概率密度函数描述。（这些概念也可应用于周期信号）1、数字特征参数（1）均值均值E[x(t)]表示集合平均值。对于各态历经随机信号，也可用一个样本函数的时间平均描述。实际中用样本记录来估计其均值TxdxtxT0)(1ˆTTTxdttxtxE01)(lim)]([均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。（2）均方值信号的均方值E[x2(t)]，反映了信号的强度（平均功率）；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。定义和估计值分别为：TxdxtxT022)(1ˆ工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。22120xTTTExtxtdt[()]lim()dttxTxx202)(ˆ（3）方差信号x(t)的方差定义为：方差：反映了信号绕均值的波动程度，为信号的交流分量。22120xTTxTExtExtxtdt[(()[()])]lim(())大方差小方差估计值为2、概率密度函数]lim[lim10TTTxxx(())0()limPxxtxxxxpx以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。在样本记录x(t)中，幅值落在某指定区间内的总时间为：),(xxxniinxttttT121幅值落在该区间的概率为：TTxxtxxPxTlim])([概率密度函数反映了信号的瞬时值落在指定幅值区间内的概率。也可用直方图表示：以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。0102030405060708090-1-0.50.51直方图概率密度函数归一化3、概率分布函数概率分布函数是信号幅值小于或等于某值r的概率，其定义为：落在某一区间的概率为：rdxxprtxPrP)(])([)(),(21xx21)(])([21xxdxxpxtxxP4、由概密函数可求各数字特征参数：dxxpxdxxpxdxxxpxxxx)(][)()(2222方差均方值均值概密函数图形特征，可用以判断信号性质用于机械故障诊断1、随机信号的相关概念相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。1/222[][()()][()][()]xyxyxyxyxyxycExyExyxyExEyxyxy1xyxy1xyxy10xyxy0xy（三）信号的相关分析各态历经平稳随机信号在时间处为两个随机变量，它们间的相关性分析。与有关，且时间平均等于集合平均。12ttt、12XtXt（）、（）21tt2、相关函数1()lim()()2TxyTTRxtytdtT1()lim()()2TyxTTRytxtdtT称为互相关分析。当时，()()xtyt1()lim()()2TxTTRxtxtdtT称为自相关函数：()()xyyxRR由定义可知：)()(xxRR相关函数是函数时移、内积运算的结果。相关函数的定义：信号的相关函数为时差τ的函数，仅与两信号间的相对移动量τ有关，反映了两信号在不同时刻的相似性，称为时差域分析或延时域分析。计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。x(t)y(t)时延器乘法器y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分器Rxy(τ)相关分析的离散化计算：实际计算中用有限积分时间的离散值估算：0111ˆ()()()NTxyiiiRxtytxyTN0111ˆ()()()NTxiiiRxtxtxxTN相关函数可定量描述两信号波形的相似程度。3、相关系数信号间为了具有相互定量可比性，用均值和方差进行处理，消除均方值不等的影响，成为相关系数：()()xyxyxyRxy相关系数，其值越大，相似程度越高。等于1时两波形完全相似，但为-1时相位相反，等于0时两波形间不存在相似关系。()1xy22()()xxxRx4、相关函数的性质相关函数（严格地说指相关系数）定量地描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。自相关函数性质：（1）自相关函数是的偶函数，Rx()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值，且（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。(0)1x互相关函数性质：（1）不是偶函数，但有（2）两等周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（3）两个非同频率的正弦信号互不相关。（4）随机信号的相关函数将随的增大快速衰减。()()xyyxRRlim()xyxyR5、典型信号的相关分析同频正弦信号的自相关同频正弦信号的互相关正弦信号与同频复杂周期信号的互相关不同频率正弦信号的互相关噪声信号的自相关分析及与确定信号的互相关噪声信号的分类：白噪声，有色噪声，宽带、窄带随机噪声等。互相关分析可应用于：同频检测技术，相关滤波器，从噪声背景中分离出有用信号分析信号的频谱和线性系统的频率特征滞后时间确定信号源定位测速，测距离机械故障诊断中振动的传递路径等等。6、相关分析的工程应用案例：机械加工表面粗糙度自相关分析被测工件相关分析提取出回转误差等周期性的故障源。用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。案例：自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分。案例：地下输油管道漏损位置的探测相关测速法运动物体速度的测量案例：互相关汽车测速教材中的例题三、功率谱分析及其应用功率谱分析是从频域研究平稳随机过程的重要方法。1、自功率谱密度函数平稳随机信号的相关函数和功率谱是傅立叶变换的关系，定义自功率谱密度函数为：dfefSRdeRfSfjxxfjxx22)()()()(它为双边谱，也有单边谱密度函数，定义域为，有：)(2)(fSfGxx),0[此即著名的维纳—辛钦公式2、功率谱的物理意义时，有：0202)(1lim)0(xxTTxdffSdttxTR可见，自功率谱密度函数曲线与频率轴包围的面积就等于信号的平均功率，则自功率谱密度函数就是单位频带宽度内的信号功率，描述了信号功率随频率的分布规律，具有功率密度的含义。3、自功率谱密度函数与幅频谱之间的关系由频率卷积定理推导得帕什瓦尔能量积分等式：dffXdttx22)()(在整个时间轴上的信号平均功率为：dffXTdttxTPTTTav202)(1lim)(1lim202)(1lim)0(xxTTxdffSdttxTR2)(1limfXTfSTx）（比较得知：2)(1~fXTfSx）（估计值为：性质：（1）自功率谱密度函数为实偶函数。（2）自功率谱密度函数不仅可由相关函数的傅立叶变换得到，也能由信号幅值频谱得到，但失去了原信号的相位信息。（3）信号的自功率谱密度函数和幅值频谱函数均反映了原信号的频谱结构，但前者反映的是幅频谱的平方，使原信号的频谱结构特征更为明显。周期图法建立在FFT的基础上，它为一种经典谱估计法，还需要对它进行平滑处理，如分段平均。4、互功率谱密度函数（1）互功率谱密度函数与互相关函数间关系为傅立