两相流动的基本方程

研究生课程：气液两相流理论两相流动的基本方程中国石油大学（北京）石油天然气工程学院檀朝东[e-mail]138013312551.1均相模型1.2分相模型2.解析模型基本方程1.两相流动的基本方程2.1二流体模型2.2混合模型2.3滑移模型、扩散模型、漂移模型1.1均相模型均相模型把两相介质看成均匀介质，介质的参数取两相平均参数，然后根据单相均匀介质建立两相流基本方程。下面只讨论两相流均相流模型的动量方程。l单相流的动量方程：摩擦剪切应力是线性的，)(11rurrrzpgzuuzzz∂∂∂∂+∂∂--=∂∂nr0=rRtt0zRurtm∂⎛⎞=-⎜⎟∂⎝⎠1.1均相模型单相流的动量方程可以写成：上式可见，流道压降由三部分组成：摩擦压降加速压降重力压降021()zurrrrRtm∂∂=∂∂02zzupugzRztrr∂∂-=++∂∂0024FpzRDtt∂-==∂azzzpuuuGzzzr∂∂∂-==∂∂∂gpgzr∂-=∂1.1均相模型用两相流的混合流速U和混合密度代替单相方程中的和，这样就可得到两相流均相模型的动量方程形式为：也需要按两相参数处理，其中，Re与都需取描述两相流的平均数值。均相模型属于经验模型范畴。cmrzur0tm02cmpUGgzRztr∂∂-=++∂∂1.2分相模型分相模型是把两相分成两种单相流动（气相和液相）。介质参数分别取各自的介质参数，分相模型也是一种经验模型。1.连续方程液相入流面：液相出流面：气相转化为液相的量：lMlldMMdz+dzlidWC1.2分相模型则液相连续方程为：为液相单位面积质量流量。液相连续方程可写为：式中：为液相界面效应；为其周界；α为空泡率。(0llllidMMMdWCdz-+=dz)+(1)llllMuAAGra=-=lG[(1)]+=0llliduAdzdWCdzra-ldWiC1.2分相模型同理，气相连续方程为：其中，为气相界面效应，而且；为潜热（KJ/Kg）;q为热流密度（）[]+=0gggiduAdzdWCdzra/gldWdWql=-=2/kWmgdWl1.2分相模型气液相连续方程相加，界面效应抵消，可得：分相模型中各相本身的方程存在界面效应，当分相方程合并成两相方程后，界面效应将不再存在，这是分相模型的缺陷。[(1)][]0llggdduAuAdzdzrara-+=1.2分相模型2.动量方程液相入流面：动量：压力：液相出流面：动量：压力：管壁剪切应力：相间切应力：重力分量：忽略了界面质量变化引起的动量项。llMu(1)pAa-(+llllMdMudu+)(）(1)((1))dpApAdzdzaa--+-00llCdzt-iiCdzt(1)coslAgdzraq--1.2分相模型根据动量定理，可以得出：整理上式：00(1)[(1)((1))](1)cos(+llliilllllldpApApAdzdzAgdzCdzCdzMdMuduMuaaaraqtt---+----+=+)(）-00(1)(1)cos1[(+]lliilllllllCCdpgdzAAMdMuduMuAdzttaraq-----+=+)(）-1.2分相模型同理：气相动量方程为：式中：分别为气相、液相所接触的流道壁面周界，且，为流道壁面总周界，为界面周界。气液相动量方程相加，且，可得：00cos1[(+]ggiigggggggCCdpgdzAAMdMuduMuAdzttaraq----=+)(）-00,glCC000glCCC+=0CiC000lgttt==1.2分相模型等截面流道，00[(1)]cos1()glllggCdpgdzAdMuMuAdztraarq---+-=+(1)lllMAura=-gggMAura=2200cos((1))cmllggCdpdguudzAdztrqrara---=-+1.2分相模型则：X-质量气流率/()gguGxra=(1)/[(1)]lluGxra=--22200(1)cos()(1)cmlgCdpdxxgGdzAdztrqrara--=+++-1.2分相模型摩擦压降：加速压降：重力压降：可以看出，两相流和单相流是相似的。0000222FCRdpdzARRttptp-===222(1)()(1)algdpdxxGdzdzrara--=+-cosgtpdpgdzrq-=1.2分相模型3.能量方程：分相模型的能量方程，不考虑界面效应，只考虑每一相的作用。热力学第一定律：由热力学第一定律可得：dUQWdd=+UQWΔ=+2(/2)sinqWdhdugdzq-=++其中，h为混合物比焓；W为对外做的功；q为外界对体系的传热；1.2分相模型e为比热学能，F为体系耗散功。体系不对外做功，w=0,而可得：对z求导得：+dhdedpvdF=+qdepdv=+2(/2)sin0vdpdFdugdzq+++=21(/2)sin0dpdFdugdzdzdzqr+++=2(/2)sin0dpdFdugdzdzdzuq+++=1.2分相模型利用质量含气率x对动能加权：代入分相模型两相流能量方程得：222223322222(1)(1)()(1)(1)(1)(1)glglgluxuxuGxGxxxxxGraraarar=+-⎛⎞-=+-⎜⎟-⎝⎠⎡⎤-=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦23322221(1)sin2(1)gldpdFGdxxgdzdzdzqrarar⎡⎤--=+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1.2分相模型能量方程包含三个部分，等号右侧第一项为能量耗散部分（并不完全等于前面动量方程中摩擦压降所造成的能量损失）；第二项为介质动能部分；第三项为介质位能部分。整个过程中，密度不变（x不变或等温流动），则能量方程变为：2332222(1)sin2(1)gldpdFGdxxgdzdzdzrrrqarar⎡⎤--=+++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1.3总结由以上推导可见，不管是均相模型还是混合后的分相模型，都没有反映出界面效应。它们不能用来研究流场中的局部特性，而只能研究流道的整体特性，或流道的对外效果。在工程中，有许多程序采用这种经验模型。使用分相模型时，对两相流摩擦阻力系数和空泡份额还需建立结构式。2.解析模型基本方程2.1二流体模型单相流体连续性微分方程：设k代表相的角码（k=g,l）,相的数目再多时，k可取1，2，3…，可以写出每相的连续性微分方程为：()()()+0yxzuuutxyzrrrr∂∂∂∂++=∂∂∂∂()0utrr∂+∇⋅=∂()0kkkutrr∂+∇⋅=∂2.1二流体模型l纳维-斯托克斯方程式（动量方程）三维坐标下，单相流体x,y,z方向的动量微分方程为：其中，X，Y，Z,分别为x,y,z轴所受的质量力。1()yxxxzxxpduXxyzdtttr∂∂∂+-++=∂∂∂1()xyyyzyypduYxyzdtttr∂∂∂++-+=∂∂∂1()yzxzzzzpduZxyzdtttr∂∂∂+++-=∂∂∂2.1二流体模型质量力只有重力时，N-S方程的矢量式为()dupITgdtrr=-∇⋅+∇⋅+zdzduudyduudxduutuydzduudyduudxduutuxdzduudyduudxduutudtduzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxvvv)()()(rrrrrrrrrrrrr+++∂∂++++∂∂++++∂∂=duuuudttrrr∂=+∇⋅∂（）2.1二流体模型N-S动量方程可变为：则每一相的动量方程为：式中：为相速度向量；为相压力标量I为单位张量；为剪应力张量；为重力加速度向量。=()uuupITgtrrr∂+∇⋅-∇⋅+∇⋅+∂（）=()kkkkkkkkkuuupITgtrrr∂+∇⋅-∇⋅+∇⋅+∂（）kukpkgkT2.1二流体模型3.能量方程式中：为比热力学能标量。22(+)[(+)]22[()]kkkkkkkkkkkkkkuueeuqtpITugurrr∂+∇⋅=-∇⋅∂+∇⋅-+⋅+⋅ke2.1二流体模型在流场中，除了k相以外，还存在相间界面区，如果认为每一相区中，介质特性和单相流一样是连续的，那么界面区则对每一相都不连续。为了描述整个流场特性，建立界面特性基本方程，与相特性相同，界面特性是以界面区域均一特性为基础的。为界面区内两相的界面；为的单位向量（法向量）；12aa，12,nn12aa，2.1二流体模型为界面总厚度之和，通常；N为封闭端面的单位向量；为封闭端面；为与的交线。界面控制体为与所包围的体积；如果认为很小，则，对控制体的积分特性为：12ddd=+12dd=i∑i∑iziaiai∑iVd12nn=-iV1221[()][()]ikiiiikkikkkkVaiiiiiVddVnuuTdadtNuuTdddVdzdrjrjrjdzrf=-=⋅-+-⋅-++∑∫∫∫∫∫2.1二流体模型式中与为流场特性参数和流场体积源。界面特性方程也是三个（质量方程，动量方程，能量方程）。l对质量方程l对动量方程l对能量方程按不同情况决定。上始终T为针对流场特性的流出率（eflux）;为相速度向量。把上式经过体积分和面积分的变换（雷诺转换和格林变换）以及必要的简化，最后可得出三个基本方程。jf1,0jf==,ugjf==2,eujf=+ku2.1二流体模型假设则质量守恒方程中，则质量方程对V的积分均为零。则：进行一维处理，可以得出界面质量方程为：0d=1,0,0iikTjf===21[()]0kkkikkkkanuuTdarj=⋅-+=∑∫()()ggigllilglnuunuunnrr⋅-=-⋅-=-，()()gigliluuuurr-=-2.1二流体模型动量守恒方程式同样进行处理，其中，,可以得出界面动量方程为:能量方程式中，得出界面能量方程式为：,,0iiikugTjf==≠()()gigggglillluuupuuprtrt-+-=--+22,,ikkikkkkkkkuuguTqpuujft=+==-+22()(2)()(2)ggigggggggllillllllluuUuuuquuUuuuqrrtrrt-+-++=--+-++2.1二流体模型这样，就可得出三个界面方程，前面气液两相得出六个基本方程（连续，动量，能量方程），九个方程可以耦合成三组描述两相流场的基本方程组。这三组方程是单独描述气相、液相和界面的，它们是不连续的，不能直接求解，要达到求解的目的，必须把它们连续化，使其成为类似单相流体的连续方程组。2.1二流体模型所谓连续化，就是用平均的方法，把方程改造成一定的平均尺度内既保留原流场（不连续）的起伏变化特性，又表现出连续性。如右图，某个特性参数（或数组方程，包括代数方程或微分方程）ψ在原流场中是不连续的，如折线A所示。经过平均后，便成B。这里的平均，可以按时间间隔进行，称为时间平均。也可以按空间（长度，面积，）间隔,成为空间平均。2.1二流体模型不管是按时间（t）或按空间（z,A,V）进行平均,其平均尺度（或）的选取，都必须满足前面提出的原则：l在最大尺度内需保证平均后仍保留原流场的波动特性；l在最小尺度内，要达到必要的连续特性。尺度过大，平均后成为一条水平线，失去意义；尺度过小，仍保留原流场的不连续的跳跃特性，都不能满足要求。,tzΔΔ,AVΔΔ2.1二流体模型如果把相方程用代表，界面方程用代表,则以时间平均为例，平均后的特性方程应为：式中，为时间平均尺度，与为在中k相与界面的时间概率。当时，此方程为单个相的特性方程。当时，为两相流整体特性方程。kBsB[][]110ksksttBdtBdtttΔΔ+=ΔΔ∫∫tΔ[]ktΔ[]stΔtΔ[][]kstttΔ=Δ+Δ[][]kstttΔ=Δ+Δ∑2.1二流体模型平均方法有欧拉平均法（前面举例），是最常用的方法。流场坐标是以空间坐标与时间坐标描述的，即。对于拉格朗日平均法，流场特性是以拉格朗日实质坐标与时间坐标描述的。l一般气液两相流均使用欧拉平均法。l欧拉时间平均、欧拉空间平均、欧拉时空平均是目前最常用的方法。(,)xtjj=(,)Xtjj=2.1二流体模型经过平均（以时间平均为例）