2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案

第1页（共18页）2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数2zi，则(zz)A．3B．5C．3D．52．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．1B．2C．3D．43．已知直线l的参数方程为13,(24xttyt为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A．15B．25C．45D．654．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A．222abB．2234abC．2abD．34ab5．若x，y满足||1xy„，且1y…，则3xy的最大值为()A．7B．1C．5D．76．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252EmmlgE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk．已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．10.110B．10.1C．10.1lgD．10.1107．设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；第2页（共18页）②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．函数2()sin2fxx的最小正周期是．10．设等差数列{}na的前n项和为nS，若23a，510S，则5a，nS的最小值为．11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．12．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①lm；②//m；③l．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．13．设函数()(xxfxeaea为常数）．若()fx为奇函数，则a；若()fx是R上的增函数，则a的取值范围是．14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。第3页（共18页）15．（13分）在ABC中，3a，2bc，1cos2B．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin()BC的值．16．（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，//ADBC，2PAADCD，3BC．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC．（Ⅰ）求证：CD平面PAD；（Ⅱ）求二面角FAEP的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元)支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18．（14分）已知抛物线2:2Cxpy经过点(2,1)．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线1y分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．19．（13分）已知函数321()4fxxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率为l的切线方程；第4页（共18页）（Ⅱ）当[2x，4]时，求证：6()xfxx剟；（Ⅲ）设()|()()|()FxfxxaaR，记()Fx在区间[2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．20．（13分）已知数列{}na，从中选取第1i项、第2i项、、第mi项12()miii，若12miiiaaa，则称新数列1ia，2ia，，mia为{}na的长度为m的递增子列．规定：数列{}na的任意一项都是{}na的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na．若pq，求证：00mnaa；（Ⅲ）设无穷数列{}na的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}na的长度为s的递增子列末项的最小值为21s，且长度为s末项为21s的递增子列恰有12s个(1s，2，)，求数列{}na的通项公式．第5页（共18页）2019年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知复数2zi，则(zz)A．3B．5C．3D．5【思路分析】直接由2||zzz求解．【解析】：2zi，2222||(21)5zzz．故选：D．【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．1B．2C．3D．4【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得1k，1s2s不满足条件3k…，执行循环体，2k，2s不满足条件3k…，执行循环体，3k，2s此时，满足条件3k…，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3．已知直线l的参数方程为13,(24xttyt为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A．15B．25C．45D．65【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．第6页（共18页）【解析】：由13(24xttyt为参数），消去t，可得4320xy．则点(1,0)到直线l的距离是22|41302|654(3)d．故选：D．【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．4．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A．222abB．2234abC．2abD．34ab【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222abc得答案．【解析】：由题意，12ca，得2214ca，则22214aba，22244aba，即2234ab．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．5．若x，y满足||1xy„，且1y…，则3xy的最大值为()A．7B．1C．5D．7【思路分析】由约束条件作出可行域，令3zxy，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由||11xyy„…作出可行域如图，联立110yxy，解得(2,1)A，令3zxy，化为3yxz，由图可知，当直线3yxz过点A时，z有最大值为3215．故选：C．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252EmmlgE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk．已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．10.110B．10.1C．10.1lgD．10.110【思路分析】把已知熟记代入121252EmmlgE，化简后利用对数的运算性质求解．第7页（共18页）【解析】：设太阳的星等是126.7m，天狼星的星等是21.45m，由题意可得：1251.45(26.7)2ElgE，1250.510.15ElgE，则10.11210EE．故选：A．【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．7．设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB与AC的夹角为锐角”“||||ABACBC”，“||||ABACBC”“AB与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解析】：点A，B，C不共线，“AB与AC的夹角为锐角”“||||ABACBC”，“||||ABACBC”“AB与AC的夹角为锐角”，设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的充分必要条件．故选：C．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解析】：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当0x时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1)，(0,1)；第8页（共18页）当0x时，方程变为2210yxyx，所以△224(1)0xx…，解得(0x，23]3，所以x只能取整数1，当1x时，20yy，解得0y或1y，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x时，由221xyxy得222212xyxyxy„，（当xy时取等），222xy„，222xy„，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．故选：C．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．二