数论--高斯函数qwr

高斯函数1.定义:设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即01xxaa，因此，xx1x，这里，x为x的整数部分，而yxxx为x的小数部分函数。2.性质：性质1．函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；性质2．nxnx，其中nZ；性质3．11xxxx；性质4．对于一切实数,xy有1xyxyxy；性质5．若0,0xy，则xyxy；性质6．若nN，则xxnn；当1n时，xx；性质6.1xxx（x不是整数时）（x是整数时）。][xy是不减函数，即若21xx则][][21xx，其图像如图1；}{xy是以1为周期的周期函数，如图2.12请画出图像：,yxyx高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。例1、解方程5615785xx。例1、解方程5615785xx。解：令1575xnnZ，则5715nx，带入原方程整理得：103940nn，由高斯函数的定义有10390140nn，解得：1133010n，则0,1nn。若0n，则715x；若1n，则45x。注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。。例2、解方程1142xx。例2、解方程1142xx。解：由高斯函数的性质，得：111142xx，即17x，令1111,42xxyy，在同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间1,7内的图象，显然，当1,1x时，104x而112x，方程不成立；当1,3x时，11042xx；当3,5x时，11142xx；当5,7x时，114x而122x，方程不成立。综上所述，原方程的解是：15xx。注：本例为uv型方程。首先由11uv，求出x的取值区间。但此条件为原方程例3、若x为实数，记xxx（x表示不超过x的最大整数），解方程200712006xx例4、x表示不超过x的最大整数，解方程0322xx练习：1.x表示不超过x的最大整数，解方程27832xxx2.x表示不超过x的最大整数，解方程32538xx3.解方程333xx。4.设1988321S，求S。