2014年六年级数学思维训练：不定方程

第1页（共26页）2014年六年级数学思维训练：不定方程一、兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？2．有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声？4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共700多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头．请问：庙里有多少个和尚？5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8．小明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是封．9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？二、拓展篇11．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？12．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？13．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？14．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？第2页（共26页）15．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？16．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？17．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？18．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？19．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？20．阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖？21．小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？22．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．三、超越篇23．求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．24．一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？25．雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？26．采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？第3页（共26页）27．有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？28．国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表．商品ABCDE单价（元）70110190290310重量（千克）1.521103如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法？29．现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）30．现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次？第4页（共26页）2014年六年级数学思维训练：不定方程参考答案与试题解析一、兴趣篇1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【分析】设大桶有x个，小桶有y个，根据题意列出方程：8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值即可．【解答】解：设大桶有x个，小桶有y个，根据题意得：8x+5y=44，变形为：y=，y为自然数，则44﹣8x≥5，即y≤4.875，经试算，当y=4，x=3时符合题意．答：大油桶有3个，小油桶有4个．2．有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【分析】设大盒x个，小盒y个，则12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题．【解答】解：设大盒x个，小盒y个，根据题意可得方程：12x+7y=150，方程可以变形为：x=，因为x、y都是整数，所以150﹣7y必须是12的倍数，所以，当x=9，y=6，或y=18，x=2是这个方程的整数解，答：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个才能恰好把这些球装完．3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【分析】设一共有x个早上，y个晚上，则由题意可得：（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论．【解答】解：设一共有x个早上，y个晚上，则：（1+2）x+（2+3）y=613x+5y=615y的个位数只能是0、5，所以3x的个位数只能是1、6．根据题意可得：y=5，x=12，那么波斯猫叫：3×5+1×12=27（声）；y=8，x=7，那么波斯猫叫：3×8+1×7=31（声）；因为27＜31，所以波斯猫至少叫27声；答：波斯猫至少叫27声．第5页（共26页）4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共700多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头．请问：庙里有多少个和尚？【分析】7个大和尚每天共吃41个馒头，平均每个大和尚吃个馒头；比4个多﹣4=个；19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个小和尚吃个馒头；比4个少4﹣=个；大和尚的人数×=小和尚的人数×，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有700多这一范围，求出总人数．【解答】解：41÷7﹣4，=﹣4，=（个）；4﹣60÷19，=4﹣，=（个）；大和尚的人数×=小和尚的人数×，那么：大和尚人数：小和尚的人数=：=（16×7）：（13×19）=112：247；如果按照大和尚人数是112，小和尚人数是247，那么总人数就是112+247=359（个）；359＜700，所以总人数不是359人，应是：359×2=718（个）；答：庙里有718个和尚．5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工？【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；设有男职工x人，女职工y人，则孩子有人，根据共种了216棵树列方程解答即可．【解答】解：设有男职工x人，女职工y人，则孩子有人，根据题意可得方程：13x+10y+6×=216，方程可以整理为：15x+12y=216，即5x+4y=72，所以5x=4（y+18），由上式可以看出5x是4的倍数，5与4的最大公约数是1，则x是4的倍数．第6页（共26页）当x=4时，y=13，不是整数，应舍去；当x=8时，y=8，不是整数，应舍去；当x=12时，y=3，=5，即男职工12人，女职工3人，小孩5人．当x＞12时，y无解．可见，男职工有12人．答：男职工有12人．6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？【分析】设老师x人，男生y人，表示出女生人数：（14﹣x﹣y）人，根据题意列出不定方程，再根据x、y应为自然数，且x+y＜14，据此解答即可．【解答】解：设老师x人，男生y人，则女生（14﹣x﹣y）人，根据题意得：12x+8y+5（14﹣x﹣y）=100化简得：7x+3y=30本题中x、y应为自然数，且x+y＜14；经试算：x=3，y=3时符合题意，14﹣3﹣3=8，即女生有8人．答：搬书的老师有3人、男生有3人、女生有8人．7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值5