2014年六年级数学思维训练：构造论证二

第1页（共31页）2014年六年级数学思维训练：构造论证二一、兴趣篇1．如图所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到．2．（1）把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在下表第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．123456789（2）能否将1，2，3，…，10，11按合适的顺序填在下表第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？12345678910113．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5．把如图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？6．（1）能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？（2）能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7．如图是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；（2）能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？第2页（共31页）8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？9．将一个4×4的方格表分为如图的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于15？二、拓展篇11．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．12．如图，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？13．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图1中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图2中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值．14．（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？（2）能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？15．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？第3页（共31页）16．在（图2）4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图1所示的“L型”？17．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：（1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？（2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．18．（1）能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？19．（1）能否用16个如图1所示的“T型”拼成一个（图3）8×8的棋盘？（2）能否用8个如图1所示的“T型”和8个如图2所示的“L型”拼成一个（图3）8×8的棋盘？（3）能否用1个如图1所示的“T型”和15个如图2所示的“L型”拼成一个（图3）8×8的棋盘？20．（1）能否用9个如图1所示的1×4的长方形拼成一个（图3）6×6的棋盘？（2）能否用9个如图2所示的“L型”拼成一个（图3）6×6的棋盘？三、超越篇21．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）？若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．第4页（共31页）22．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b+a+b这个数，比如：可增写5（因为1×2+1+2=5）；可增写11（因为1×5+l+5=11）．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．（1）143；（2）144．23．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．24．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，如图中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）25．（1）能否从图1中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？（2）中国象棋的马是走“日”字型路线．如图2，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？26．如图，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？27．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？28．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？第5页（共31页）2014年六年级数学思维训练：构造论证二参考答案与试题解析一、兴趣篇1．如图所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到．【分析】如图，标有“•”的格子是能被监视到的格子，有八个格子不能被监视到，其中第一行有2个，第二行有3个，第三行有2个，第五行有1个；根据每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，可得第二行第三列相交处的格子能监视到这八个格子，所以应在第二行第三列处再建一个哨所，据此解答即可．【解答】解：如图，标有“•”的格子是能被监视到的格子，有八个格子不能被监视到，其中第一行有2个，第二行有3个，第三行有2个，第五行有1个；根据图示，可得第二行第三列相交处的格子能监视到这八个格子，所以应在第二行第三列处再建一个哨所．2．（1）把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在下表第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．123456789（2）能否将1，2，3，…，10，11按合适的顺序填在下表第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？1234567891011【分析】（1）因为1到9，任意两个数的和在2到18之间，在2到18之间的平方数有：4，9，16，那么只要第二行填上1到9且使上下两行的和是4，9或者是16即可；1+3=4，1+8=9，2+2=4，2+7=9，3+1=4，3+6=9，4+5=9，5+4=9，6+3=9，7+2=9，7+9=16，据此解答即可；（2）1到11之间和从2到22，那么平方数依然是4，9，16，根据第一问的分析即可．【解答】解：（1）因为1到9，任意两个数的和在2到18之间，在2到18之间的平方数有：第6页（共31页）4，9，16，那么只要第二行填上1到9且使上下两行的和是4，9或者是16即可；如图：123456789826543917（2）因为：1到11之间的数字，任意两个数相加，和从2到22，所以平方数还是4，9，16，如图：因为11只能和5相加才是平方数，而4也只能和5相加，所以5出现两次．123456789101132151110987653．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？【分析】（1）因为正方体的12条棱长相等，所以所有数的和应是12的倍数，又因为1+2+3+…+199=（1+199）×199÷2=19900，19900÷12=1658…4，由于19900不是12的倍数，所以不可能焊接成一个正方体框架；（2）因为长方体的棱长和是4的倍数，19900÷4=4975，19900是4的倍数，所以有可能焊接成一个长方体框架；因为199=1+198=2+197=3+196=…=99+100，所以把199个金属杆边长100个长度为199的金属杆即可，进而求出长方体框架的长、宽、高分别是多少即可．（答案不唯一）【解答】解：（1）因为正方体的12条棱长相等，所以所有数的和应是12的倍数，又因为1+2+3+…+199=（1+199）×199÷2=19900，19900÷12=1658…4，由于19900不是12的倍数，所以不可能焊接成一个正方体框架；（2）因为长方体的棱长和是4的倍数，19900÷4=4975，19900是4的倍数，所以有可能焊接成一个长方体框架；因为199=1+198=2+197=3+196=…=99+100，所以把199个金属杆边长100个长度为199的金属杆即可，由100÷4=25，10+8+7=25，可得让长方体金属框架的长、宽、高分别为：199×10，199×8，199×7即可．4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？【分析】假定6个人总分相同而各科分数却不尽相同的情况：任意两人进行比较必然互为高低，经过枚举实验，发现总分为6时可枚举出6人：6=1+1+4=1+2+3=1+3+2=2+1+3=2+2+2=2+3+1，由此即可得出这6位同学的三科分别得分．【解答】解：假定6个人总分相同而各科分数却不尽相同的情况：任意两人进行比较必然互为高低，经过枚举实验，发现总分为6时可枚举出6人：第7页（共31页）6=1+1+4=1+2+3=1+3+2=2+1+3=2+2+2=2+3+1；即这6位同学的三科得分分别为：1、1、4；1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、2、2；2、3、1．5．把如图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？【分析】首先假设成立，利用5条线上的红圈数相加仍是奇数，而红圈数被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数，与假设矛盾，从而将假设推翻，得出结论．【解答】解：假设每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数．但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每一个圈都在两条线上，因而都被计算了2次，从而相加的总和应当是偶数；两方面的结果矛盾，所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数．6．（1）能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的