2014年六年级数学思维训练：计数综合四

第1页（共22页）2014年六年级数学思维训练：计数综合四一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？第2页（共22页）13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？三．超越篇23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？第3页（共22页）25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）第4页（共22页）2014年六年级数学思维训练：计数综合四参考答案与试题解析一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．【解答】解：观察图形可知：在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，所以不同的取法共有49×4=196（种）．答：一共有196种不同的取法．2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有==70种吃法．【解答】解：==70（种）答：共有70种吃法．3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×=2×=70种不同的方式．【解答】解：2×=2×=2×35=70（种）答：比赛过程一共有70种不同的方式．第5页（共22页）4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？【分析】利用插板法可知：10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共==36种分法．【解答】解：==36（种）答：一共36种分法．5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：+×+×+=165种安排播出的方法．【解答】解：+×+×+=4+×7+4×+=4+42+84+35=165（种）答：共有165种安排播出的方法．6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有==861种．【解答】解：有==861（种）答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能．7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【分析】根据插空法可知：将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有==792种．【解答】解：=第6页（共22页）=792（种）答：一共有792种熄灯方案．8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．【解答】解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，共有==28（个）中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，共有==56（个）答：三位数共有28个，四位数共有56个．9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．【解答】解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法．所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒．10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．【解答】解：×2=5×2=10（种）答：共有10种不同的染色方式．二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？第7页（共22页）【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排：1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合：①由如为3格的单列三个格子可以排成1个；②4格可以排成2个；…可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；③38