《高等代数》 课程教案

《高等代数》课程教案课次1学时2授课类型其它（复习课）授课章、节：复习教学目的、要求：系统复习多项式、行列式、向量相关性、矩阵等理论，加深理解。教学重点及难点：多项式、行列式、矩阵、方程组教学基本内容教学方法一、多项式1、一元多项式(零多项式)次数.相等,运算律,一元多项式环.2、整除的概念及其基本性质.带余除法；多项式的整除性不因数域的扩大而改变.最大公因式和互素：最大公因式,互素的概念；最大公因式的存在性和求法--辗转相除法；3、不可约多项式；性质:()[]()|(),((),())1,fxFxpxfxorpxfx()|()()pxfxgx()|()pxfxor()|();pxgx整系数多项式在上可约它在整数环上可约.Eisenstein判断法.因式分解及唯一性定理；次数大于零的复系数多项式分解成一次因式的乘积；次数大于零的实系数多项式分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.重因式.4、多项式函数,根和重根;余数定理；整系数多项式的有理根;实系数多项式虚根成对;代数基本定理.F[x]中n次多项式)0(n在至多有n个根.函数相等与多项式相等一致.二、行列式理论1.n级排列逆序,逆序数与奇偶排列；!n个n级排列,奇偶各半，对换改变奇偶性，任意一个n级排列都可以经过一些对换变成自然顺序.2.n级行列式的概念；3.行列式的性质：行列互换,不变；互换行(列),变号；数乘某行(列),等于数乘这个行列式；把某行(列)的倍数加到另一行(列),不变；按行(列)分解为两个行列式的和；两行(列)成比例,行列式等于零；4.行列式依行依列展开代数余子式，用代数余子式计算行列式5、行列式计算定义法；化为三角形；化为范得蒙行列式；拆行(列)法；降级法；加边法；数学归纳法；递推法；因式分解法三、向量与方程组1、向量的线性关系n维向量及线性运算，线性组合，线性相关，线性无关，极大线性无关组，秩，向量组等价.向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.设向量组r,,,21中每一个向量都是向量组s,,,21的线性组合，而且sr，那么向量组r,,,21必线性相关.2、矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩=不为零的子式的最大级数.初等变换不改变矩阵的秩.3、线性方程组的解线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵秩相同.解的个数：rankAn时有唯一解；rankArn时，0是线性方程组的一个特解，rn,,,21是导出组的基础解系，线性方程组的任一解表成rnrnkkk22110,其中rnkkk,,,21是任意数.齐次线性方程组总有解:rankAn时只有零解；rankArn时有无穷多解，任意rn个线性无关的解向量rn,,,21是它的基础解系，全部解可表示为rnrnkkk2211其中rnkkk,,,21是任意的数.四、矩阵1.运算加法与减法;数乘；乘法,并且若BA,是n级矩阵,则||||||BAAB.可逆矩阵.2.矩阵运算律加法交换与结合律,乘法的结合律,数乘与乘法关于加法的分配律；1111111(),()(),().AAAAABBA,,(),(),(),EAAAEAABABkAkAABBA注意:BAAB;,0,0BA可能0AB.3.几种特殊的矩阵数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵.4.n级矩阵A可逆初等变换化A为单位矩阵A为初等矩阵的乘积A的秩为nA的行列式0||A.初等变换求逆矩阵5.(),()min,ABABABAB秩秩秩秩秩秩.6.三种初等矩阵))(,()),((),,(kjiPciPjiP分别对应于三种初等变换.对矩阵A作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘A.矩阵等价及标准形.7.分块矩阵的运算.系统、复习与串讲作业、讨论题、思考题认真向量与矩阵有关运算和性质参考资料、主要外语词汇：1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.课后小结：《高等代数》课程教案课次2学时2授课类型理论课授课章、节：第五章二次型§1二次型的矩阵表示教学目的、要求：理解二次型和非退化线性替换；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的对应关系；理解合同概念及性质.教学重点及难点：矩阵的合同关系教学基本内容教学方法一、二次型及其矩阵表示二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.定义1设nnyyxx,,;,,11是两组文字，系数在数域P中的一组关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,称为由nxx,,1到nyy,,1的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0ijc,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.ijijjiAaaa为二次型1211(,,,)nnnijijijfxxxaxx的矩阵，AA.二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.设二次型AAAXXxxxfn,),,,(21，作非退化线性替换CYX得到一个nyyy,,,21的二次型BYY.二、矩阵的合同关系定义2数域P上两个n阶矩阵A，B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C,使得ACCB.合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质:1)自反性:任意矩阵A都与自身合同.2)对称性:如果B与A合同,那么A与B合同.3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同.经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换CYX是非退化时，由上面的关系即得XCY1.这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.黑板讲授作业、讨论题、思考题认真思考二次型与矩阵的对应关系参考资料、主要外语词汇：1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.二次型quadraticform非退化non-degenerate相合congruent对称矩阵symmetricmatrix课后小结：《高等代数》课程教案课次3学时2授课类型理论课授课章、节：第五章二次型§2标准形教学目的、要求：熟练掌握化二次型为标准形的方法（配方法、初等变换法）。教学重点及难点：深刻理解矩阵的标准形形教学基本内容教学方法一、二次型的标准型最简单二次型是只包含平方项的二次型2222211nnxdxdxd，矩阵为对角形.矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和的形式.定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使ACC成对角矩阵.二次型),,,(21nxxxf经过非退化线性替换所变成的平方和称为标准形.例化二次型32312121622),,,(xxxxxxxxxfn为标准形.二、配方法1.,011a这时的变量替换为.,,222111111nnnjjjyxyxyaayx10001011111121111naaaaC,则相应合同变换11ACCA，令22212112,,,nnnnnaaaaAaa.111111111,nEOaCAaA,这里为的转置，1nE为1n级单位矩阵.1111111111111111111111111111110011.000nnnaaaaaCACaEAAaAaEOE矩阵1111aA是对称矩阵，存在可逆矩阵G使DGaAG)(1111为对角形，令GOOC12,于是1111211211110101000000aaCCACCAaGGD,这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是21CCC.2.011a但只有一个0iia.3.,,,2,1,0niaii但有一.1,01jaj4..,,2,1,01njaj后面几种情况通过初等变换化为第一种情况.例化二次型323121321622),,(xxxxxxxxxf成标准形.黑板讲授例题讲解黑板讲授例题讲解作业、讨论题、思考题P2321,2,3,4,5,6P2341,2参考资料、主要外语词汇：1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.二次型quadraticform非退化non-degenerate对称矩阵symmetricmatrix课后小结：《高等代数》课程教案课次4学时2授课类型理论课授课章、节：第五章二次型§3唯一性教学目的、要求：完整论述,上二次型的规范形的唯一性；正确理解惯性定理。教学重点及难点：规范形与惯性定理教学基本内容教学方法在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.设),,,(21nxxxf是一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换后，),,,(21nxxxf变成标准形ridydydydirr,,2,1,0,2222211.再作一非退化线性替换变成22221rzzz称为复二次型),,,(21nxxxf的规范形.定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.任一复数对称矩阵合同于000rE.两个复数对称矩阵合同当且仅当它们的秩相等.设),,,(21nxxxf是一实系数的二次型.经过某一个非退化线性替换，变成标准形,22112222211rrppppydydydydyd其中rridi;,,2,1,0是),,,(21nxxxf的矩阵的秩.变成,22122221rppzzzzz称为实二次型),,,(21nxxxf的规范形.显然规范形完全被pr,这两个数所决定.定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.这个定理通常称为惯性定理.定义3在实二次型),,,(21nxxxf的规范形中，正平方项的个数p称为),,,(21nxxxf的正惯性指数；负平方项的个数pr称为),,,(21nxxxf的负惯性指数；它们的差rpprp2)(称为),,,(21nxxxf的符号差.惯性定理也可叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.定理5(1)任一复对称矩阵A都合同于对角矩阵rEOOO.其中rankrA.（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵0000000prpEE,唯一确定的p,pr分别称为A的正、负惯性指数