在海岛算经

古之測量術重差、旁要、夕桀重差、旁要、夕桀：三者都是以勾股為基礎的測量術旁要：借方形來測量夕桀：借圓形來測量重差：源自《數書九章》，由原來兩次測量中兩對數據的差數，轉變為勾股比率中的兩個差重差，是西漢初年主張蓋天學說的天文學家將勾股測量應用于天體而發展起來的新的數學方法。重：重覆之意差：日影相距劉徵在其《九章算術》序中對重差曾作表述，序曰：凡望極高，測絕深而兼之其遠必用重差，勾股則必為重差為率，故曰重差也。中國勾股測量之術大禹治水：左準繩，右規矩，載四時以開九州，通九道。《周髀算經》：商高答周公的用矩之道平矩以正繩，偃矩以為圓，合矩以為方。對于被測目標不可能達的日高問題，陳子亦向榮方作簡要介紹。三國時吳人趙爽：為《周髀算經》作注時，曾作“日高圖”和“日高圖說”，以明陳子測日之法；並用這個定理証明了重差術公式。《九章算術》在其第九章“勾股”章的二十四問中：前十三問為解勾股形，第十七至二十四問屬勾股測量問題，但大都是通過一次測望即可得解。劉徵在為《九章算術》注文時，整理、繼承、發展了需通過兩次以上測量求解的方法－－重差術，並為之繪圖、注解，以究古人之意，綴于勾股之下。出“重差”單行本，因第一題為『測望海島』，故名為《海島算經》。惜劉注及九章重差圖在宋代失傳，僅剩九題，即現傳的《海島算經》。清戴震從《永樂大典》中輯出現傳《海島算經》九題：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭優，靡所不入。”究其實質，均從勾股不失本率原理出發，借用比例性質，推衍變化，創造出測量可望而不可及等遠處目標物的高、深、遠、廣等方法。《海島算經》九題：兩次測望題（三題）、三次測望題（四題）、四次測望題（兩題）解答形式：重表法（立兩個等高的標杆）連索法（用繩和表）累矩法（用兩個矩代替表）岸望清淵(累矩四望)累矩望谷(累矩兩望)登山望樓(累矩三望)登山望津(累矩三望)南望方邑(連索兩望)測望海島(重表兩望)松生山上(重表三望)測望波口(連索三望)登山臨邑(累矩四望)測望海島（重表兩望）今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相距千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目着地取望島峰，亦與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目着地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？本題雖屬“重表兩望”問題，但實為《周髀算經》裡陳子測日問題。南表北表南表北表ACKDFBHGMEAHABCDDE海島高島峰為前表後表前後表距BCBDAHBCDGBF依其術文：表高表間島高表高（測重差公式）後表卻行前表卻行即：高()BHBFBDDGBFBFBDBHDGBF設前表去島之遠近為，前表卻行為，表間為，兩卻行之差為，依其術文：前與海島之間的距離為125530750AHBH代入數據：步代入數據：步公式証明：(),BFMCDGMCCEAHMHMCAHMHMCCEMHBFMHDGAHMHMCMCCEMHBFDGAHMHMCMCCEMCCEMHBFDGBFDGBFMHCEBCBDAHMHBCDGBFDGBFBFCEBFBDMCDGBFDGBF為底的小勾股形和以為底的大勾形相似，以為底的小勾形和以為底的大勾形相似，于是有：綜合根據比例性質：故：測望波口今有東南望波口，立兩表，南、北相去九丈，以宗薄地連之。當北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈了寸。以望北岸，入前所望表裡一丈二尺，又卻後行去表十三丈五尺，薄地遙望波口南岸，與南表參合。問波口廣幾何？重表法：用以測高連索法：用以測廣本題屬“南望方邑”題的發展，為“連索三望”的測量問題。D’FH南岸EG北岸KBACD波口岸ABAKAFEFACGH：兩表相去：北表之西卻行即前去表：入索北端：入前所望表裡：後行去表即後去表：波口岸依術有：(()EFACAKGHACAFAKABABEFACAKACAFABAK）即兩表相去入前所望表裡（後去表-前去表）後去表入索北端-前去表波口岸兩表相去岸望清淵今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，今句高三尺，斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩于上，其間相去四尺。更從句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？在《海島算經》裡，有五個問題是用『矩』來測量的。測量時，通常都是使它的一個分支直立，另一支橫臥。前者叫勾，後者叫股。同時用兩個矩，它們的高總是相等的。本題要求：在岸上以累矩法測望水深由于“水深孤立無着”，需旁求它處而使測望次數高達四次。ARDRDSAB：水面：岸高：石深：水深B’(白石)RSL水面BAD水面FENMG矩間望石上股石深句高望石下股望石上股ARADR又視　為深谷，為谷底，則　為谷深，依望谷公式有：矩間望水上股岸高=句高望水下股-望水上股水深=故望淵公式：石深-岸高《海島算經》其它六題：從不同測點獲得不同的數據依據相似勾股形的性質求出“表間”、“表高”、“表前之影”、“後表之影”、“兩表日影之差”套用重差公式，便得答數劉徽『重差術』：建立于“南北各盡平地”，備受眾多批評南北朝何承天、唐代一行等人的實際測量所否定唐李淳風注《周髀算經》時，推廣“日高術”到“地有高下不平”就“望表不同”作“後高前下梯狀地形之高遠”等六術甲．“後高前下術”與“前高後下術”按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高則以為勾，以間為弦。置其高數，其影乘之，其表除之，所得益股為定間。若北表下者亦置所下，以法乘、除，所得以減股為定間。又令高、下之數與間相約，為地高、遠之率。求遠者，影乘定間，差法而一，所得加表，日之高也。求邪去地者，弦乘定間，差法如一，所得加弦，日邪去地……。“後高前下術”（左）與“前高後下術”（右），就是在斜面狀大地上進行高、遠測量之術。定間：假設將後表移至前表同一水平位置時的兩表距離。乙．“邪下術”與“邪上術”邪下術：依其北高之率，高其句影，合與地勢隆殺相似，餘同平法，假令髀斜下而南，其邪亦同，不須別望。但弦短與勾股不得相應。其南里數亦隨地勢，不得校平。平則促，若用此術，但得南望。若北望者，即用勾照南下之術。邪上術：依其後下之率作其勾影，此謂迴望北極，以為高遠者，望去取差亦同南望。此述弦長，亦與勾股不得相應，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之術。餘同平法：即在這種地勢上測其高遠，只需以實際斜面影長代替假設平面影長乙．“邪下術”與“邪上術”邪下術：依其北高之率，高其句影，合與地勢隆殺相似，餘同平法，假令髀斜下而南，其邪亦同，不須別望。但弦短與勾股不得相應。其南里數亦隨地勢，不得校平。平則促，若用此術，但得南望。若北望者，即用勾照南下之術。餘同平法：即在這種地勢上測其高遠，只需以實際斜面影長代替假設平面影長“邪下術”與“邪上術”，主要用于測量坡度始終如一的斜面地形。自上而下測望用“邪下術”自下而上測望用“邪上術”乙．“邪下術”與“邪上術”邪上術：依其後下之率作其勾影，此謂迴望北極，以為高遠者，望去取差亦同南望。此述弦長，亦與勾股不得相應，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之術。註：李淳風的斜面重差術除上述四術外，還有－－“後下術”及“平術”南表北表ACKDFBHGMEADHGME勾中容橫劉徽、李淳風，“重差術”的本質一．從測量方式上看，是勾股測量的重覆進行，即“重用勾股”。左圖的結構，實為“勾中容橫”圖的復合圖二．從計算方法上看，它是取兩次測量中的兩對數據的“兩個差數”，來代替勾股弦公式中的勾率和股率，進而以《九章算術》中的“今有術”立算。三．從測望技術上看，它與近代三角測量差不多，二者有異曲同工之妙。不同的是：近代三角測量是測出兩個仰角，用其餘切值求解。而重差術是直接測出其勾與股，在具體計算中用到了勾與股的比值。《數書九章》中的測量問題宋元數學家秦九韶著《數書九章》其中卷七、卷八為測望類，卷十六有“望知敵眾”一題，共十個測量問題十個測量問題中，有六個問題涉及“重差”。直接用《海島算經》中相關的公式與勾股比率相結合問有名山去城不知高遠。城外平地有木一株，高二丈三尺(h)，假為前表，乃立後表與木齊高，相去一百六十四步(d)，先退前表三丈九寸(b)，次退後表三丈一尺三寸(a)，斜望山峰，各與其表之端參合。人目高五尺(k)，里法三百六十步，步法五尺，欲知山高(x)及遠(y)各幾何。卷七第1題：“望山高遠”（參考“望海島”題）adbyxh術曰：“以勾股求之，重差入之”秦九韶－－()()3201835hkdabxab里步()()()672027575ahkdabyhab里步李銳認為此術有誤，他指出：“此所得，系人目上之山高，若加人目高，則多一步。”()()3201845hkdabxkab里步()()3523913adabyab里步尺寸直接用《海島算經》中相關的公式與勾股比率相結合問有浮圖欹側，欲換塔心木，不知其高，去塔六丈(a)有剎竿，亦不知其高。竿木去地九尺二寸始釘，釘一十四枚，每釘下股相去二尺五寸，就竿為表，人退竿三丈(c)，遙望浮圖尖，適與竿端斜合，又望相輪之本，錳景入釘第七枚(h)上股，人目去地四尺八寸(d)，心木放三尺為楯卯剪裁。欲求塔高(AB=x)，輪高(AJ=y)，合用塔心木長各幾何？卷八最後1題：“表望浮圖”與《九章算術》勾股章第二十三題（因木望山）同類cxdaby()()abdycabdxdc以勾股術來求塔高：由相似勾股形對應邊成比例可推導下列兩式細意比較，“表望浮圖”題求相輪之高與《海島算經》“望松生山上”求松高，所要解決的問題十分相似。“望松生山上”題：今有望松生山上，不知高下，立兩表，齊高三丈，前後相去五十步，令後表與前表參相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合，又望松本，人表二尺八寸，復從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合。問松高及山去表各幾何？松高山去入表表間入表後表卻行-前表卻行前表卻行表間後表卻行-前表之遠前表卻行“望松生山上”通過立兩表，先求松高，再求山去前表之遠假若今已知山去前表之遠，則只需立一表，且此時的問題與“表望浮圖”題中的求相輪之高完全一樣用“重差”法秦九韶繼承了劉徽“以重差為率”的思想，但這個『重差』不是劉徽所述的兩測量中兩對數據的差數，而是在勾股比率中用到兩個差數的比算題有卷七“陡岸測水”、卷八“表望方城”、“望敵遠近”，卷十六“望知敵眾”。陡岸測水（《數書九章》卷七）問行師遇水，須計篾纜，搭造浮橋。今垂繩量陡岸，高三丈，人立其上(b)，欲測水面之闊(x)，以六尺(c+d)竿為矩，平持去目下五寸(a)。今矩膏參相合，又望水此岸沙際(y)，人矩端三尺四寸(d)，人目高五尺，其水面闊幾何？此題與《海島算經》第6題“望波口”是相似的，但“陡岸測水”題陡岸高是已知的，故為二望問題；而“望波口”為三望問題。cbayxd秦九韶沒有直接應用波口廣公式，而是用相似勾股形術文：以勾股重差求之bdxc