频域分析法

2020/4/201第7章频域分析法7.1频域响应曲线7.2稳定性分析2020/4/2027.1频域响应曲线一、频率特性频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比相对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系：幅频特性：相频特性：()()()()()joiXjGjAeXj()A()2020/4/203频率特性也可以用复数的代数形式表示为：G(jω)=P(ω)+jQ(ω)P(ω)=Re[G(jω)]称为实频特性Q(ω)=Im[G(jω)]称为虚频特性显然有下面的一些关系成立。2020/4/204二、频率性能指标1.谐振频率：表示幅频特性A(w)出现最大值时所对应的频率2.谐振峰值：表示幅频特性的最大值3.频带：表示幅频特性A(w)的幅值衰减到起始值的0,707倍时所对应的频率。4.零频：表示频率w=0时的幅值。2020/4/205三、常用的几种开环频率特性图1.极坐标频率特性图（Nyquist图或幅相特性图）以频率ω为参变量，以复平面上的向量表示频率特性G(jω)的方法。当ω从−∞连续变化至+∞时，G(jω)向量的端点在复平面上连续变化形成的轨迹即为极坐标频率特性曲线。2020/4/206MATLAB提供了绘制系统极坐标图的函数nyquist()nyquist(a,b,c,d);nyquist(a,b,c,d,iu);nyquist(num,den);nyquist(a,b,c,d,iu,w);nyquist(num,den,w)[re,im,w]=nyquist(sys);plot(re,im)2020/4/207例.己知一个典型的一阶环节传递函数:试绘制该环节的Nyquist图num=5;den=[3,1];G=tf(num,den);nyquist(G);grid5()31Gss2020/4/2082.对数频率特性图(Bode图)由对数幅频特性和对数相频特两条曲线组成，实质是用A(ω)和ϕ(ω)两个实变函数表示复变函数G(jω)，只是在作图时频率轴虽然以ω标注，却以lgω进行线性分度。对数幅频特性的纵轴以L(ω)=20lgA(ω)线性分度且以L(ω)标注，单位为分贝(dB),对数相频特性曲线的纵轴以ϕ(ω)线性分度，一般以度或弧度为单位。采用对数频率轴的优点是可以在有限的范围内扩大频率的表示范围。2020/4/209MATLAB提供了绘制系统bode图的函数bode()bode(a,b,c,d);bode(a,b,c,d,iu);bode(num,den);bode(a,b,c,d,iu,w);bode(num,den,w);[mag,pha,w]=bode(sys);[mag,pha]=bode(sys);2020/4/2010例.己知一个典型的二阶环节传递函数其中试分别绘制时的bode图。w=[0,logspace(-2,2,200)];wn=0.7;t=[0.1,0.4,1.0,1.6,2.0];forj=1:5sys=tf([wn*wn],[1,2*t(j)*wn*wn,wn*wn]);bode(sys,w)holdonendgtext('t=0.1');gtext('t=0.4');gtext('t=1.0');gtext('t=1.6');gtext('t=2.0');222()2nnnGss=0.1,0.4,1.0,1.6,2.0=0.7n=0.1,0.4,1.0,1.6,2.02020/4/20113.对数幅相特性图(Nichols图)将Bode图中的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线合并得到的，分别以ϕ(ω)和L(ω)作为横坐标和纵坐标，ω为参变量。通常表示的频率变化范围也是0～+∞。2020/4/2012MATLAB提供了绘制系统的Nichols图的函数nichols()nichols(a,b,c,d);nichols(a,b,c,d,iu);nichols(num,den);nichols(a,b,c,d,iu,w);nichols(num,den,w)[mag,pha,w]=nichols(sys);[mag,pha]=nichols(sys);2020/4/2013例.已知一高阶系统的传递函数为:试绘制系统的Nichols图。num=[0.0001,0.0281,1.06365,9.6];den=[0.0006,0.0286,0.06365,6];G=tf(num,den)ngrid('new')nichols(G)32320.00010.02811.063569.6()0.00060.02860.063566sssGssss2020/4/20147.2稳定性分析1.乃奎斯特稳定判据Nyquist稳定判据的基本思想是：利用系统的开环频率特性及开环传递函数中位于右半s平面的极点个数来判别闭环系统的稳定性。2020/4/2015Nyquist定理可以进一步解释为：1).2).3).2020/4/20162.开环频域性能指标1)幅值稳定裕度如图所示最小相位系统中式中，为相角穿越频率，幅值稳定裕度定义为：开环相频特性为−180°时，开环幅频特性值的倒数，用表示。。g（）=-1801hKAg（）ghK2020/4/2017幅值稳定裕度的物理意义：稳定的开环最小相位系统，如果开环放大系数增大倍，开环极坐标频率特性曲线恰好穿过(−1,j0)点，系统处于临界稳定状态。若开环放大系数增大的倍数超过,系统将变得不稳定。hKhK2020/4/20182)相角稳定裕度，称为幅值穿越频率，也称为剪切频率或截止频率。相角稳定裕度定义为：系统开环频率特性幅值为1时，开环相频特性的值与−180°的相角差相角稳定裕度的物理意义：开环为最小相位的系统，开环频率特性在处增加一个等于γ的滞后相角，原来闭环稳定的系统将变为临界稳定，增加的滞后相角超过γ时，系统将变得不稳定。Ac（）=1c=+。c（）180c2020/4/20193.MATLAB在稳定性分析中的应用MATLAB提供了用于计算系统稳定裕度的函数margin()：从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对应的频率。在当前图形窗口中绘出带有裕度及相应频率显示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag(不是以dB为单位)、相角phase及角频率w矢量绘出带有裕度及相应频率显示的Bode图。margin(num,den)：计算连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度，并绘出相应的bode图margin(a,b,c,d)：计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度和相角裕度，并绘出相应的Bode图。[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)2020/4/2020MATLAB6.0以上版本还提供了计算系统稳定裕度的函数s=allmargin(sys)例.已知一高阶系统的开环传递函数为:试计算系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量，并绘制系统的Bode图。num=5*[0.0167,1];den=conv(conv([1,0],[0.03,1]),conv([0.0025,1],[0.001,1]));G=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);bode(G,w)grid[Gm,Pm,Wcg,WcP]=margin(G)5(0.01671)()(0.031)(0.00251)(0.0011)sGsssssGm=455.2548Pm=85.2751Wcg=602.4232WcP=4.96202020/4/2021例.己知一高阶系统的开环传递函数为试计算当开环增益K=5,500,800,3000时，系统稳定裕度的变化。k=[5,500,800,3000];forj=1:4num=k(j)*[0.0167,1];den=conv(conv([1,0],[0.03,1]),conv([0.0025,1],[0.001,1]));G=tf(num,den);y(j)=allmargin(G);endy(1)y(2)y(3)y(4)(0.01671)()(0.031)(0.00251)(0.0011)KsGsssss2020/4/2022ans=GMFrequency:602.4232GainMargin:455.2548PMFrequency:4.9620PhaseMargin:85.2751DMFrequency:4.9620DelayMargin:0.2999Stable:1ans=GMFrequency:602.4232GainMargin:4.5525PMFrequency:237.7216PhaseMargin:39.7483DMFrequency:237.7216DelayMargin:0.0029Stable:1ans=GMFrequency:602.4232GainMargin:2.8453PMFrequency:329.9063PhaseMargin:27.7092DMFrequency:329.9063DelayMargin:0.0015Stable:1ans=GMFrequency:602.4232GainMargin:0.7588PMFrequency:690.5172PhaseMargin:-6.7355DMFrequency:690.5172DelayMargin:0.0089Stable:02020/4/2023例.己知系统的开环传递函数为:试绘制系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。k=100;z=-5;p=[2,-8,-20];G=zpk(z,p,k)nyquist(G)grid100(5)()(-2)(8)(20)sGHssss2020/4/2024例.己知系统的开环传递函数为:试分别绘制K=1,7.8,20时系统的极坐标图，并利用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。k=100*[1,7.8,20];z=[];p=[0,-5,-10];G=zpk(z,p,k(1));nyquist(G)holdonG=zpk(z,p,k(2));nyquist(G)G=zpk(z,p,k(3));nyquist(G)axis([-5,1,-5,1])gtext('K=1');gtext('K=7.8');gtext('K=20');100()(5)(10)KGHssss2020/4/2025