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第17课时等腰三角形第17课时┃等腰三角形皖考解读皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测考点考纲要求年份题型分值预测热度等腰三角形有关概念了解★2010填空题5分2012选择题4分等腰三角形的性质和判定掌握2013解答题5分★★★★第17课时┃等腰三角形考点聚焦考点1等腰三角形的概念与性质定义有________相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰、第三边为底．两腰之间的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角.1.等腰三角形是轴对称图形，有________条对称轴；2.等腰三角形的两个底角相等(简称为：________)；3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.性质1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的平分线相等；2.等腰三角形是轴对称图形.两边1等边对等角中线皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形考点2等腰三角形的判定定义________相等的三角形.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边________(简写成：___________).定理“等边对等角”“等角对等边”成立的条件是“在一个三角形中”.两边相等等角对等边皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形考点3等边三角形定义________相等的三角形是等边三角形.等边三角形的各角都________，并且每—个角都等于________.1.等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质；性质2.等边三角形是轴对称图形，有________条对称轴.1.三个角都________的三角形是等边三角形；判定2.有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.三边相等60°3相等60°皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形探究一等腰三角形的性质的运用皖考探究命题角度：1．等腰三角形的性质；2．等腰三角形“三线合一”的性质；3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形例1[2012·随州]如图17－1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE.图17－1皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形(1)根据等腰三角形“三线合一”可得BD＝CD，AD⊥BC，再根据全等三角形的判定定理SSS或HL可以证得△ABD≌△ACD；(2)利用(1)中已证AD是BC的垂直平分线可证BE＝CE.解析证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(SSS)．(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．解皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形1．等腰三角形的性质为我们证明线段相等或角相等又提供了重要的依据；2．涉及等腰三角形的问题，一般添作顶角平分线或底边上的高或底边上的中线．应用性质时不能忽略前提条件．“等边对等角”有一个前提条件是“在一个三角形中”，容易忽视这个条件导致解题错误．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形探究二等腰三角形的判定命题角度：等腰三角形的判定．例2[教材母题]已知，如图17－2，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E.求证：△ACE是等腰三角形．图17－2皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形由平行线的性质得到相等的角，再根据角平分线的性质实现等角的转换，证得∠CAE＝∠AEC，从而得出结论．解析证明：∵AE∥DC，∴∠BCD＝∠AEC，∠ACD＝∠CAE.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰三角形．解皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用中垂线的性质得两边相等．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形探究三等腰三角形的多解问题命题角度：1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；2．遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上和形外等多种情况．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形例3[2013·白银]等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为____________________．5，5或6，4分两种情况：(1)6是等腰三角形的底边，由于周长为16，所以另两边的长为5，5，且5，5，6能组成三角形；(2)6是等腰三角形的腰，由于周长为16，所以另两边的长为4，6，且4，6，6能组成三角形．综上所述，这个等腰三角形的另两边长是5，5或6，4.解析皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形注意分类讨论思想的应用．因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内、形上和形外多种情况．故当题中条件不明确时，要分类讨论．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形探究四等边三角形的判定与性质命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．例4[教材母题]已知，如图17－3，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F.求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.图17－3皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形(1)由等边三角形的性质证得△ACN与△MCB全等，得到相等的角，再通过证△ACE与△MCF全等，证得结论；(2)先证△CEF是等边三角形，通过特殊角证明角相等，得到平行线．解析证明：(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴∠CAN＝∠CMB，∴△ACE≌△MCF，∴CE＝CF.(2)∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠EFC＝60°＝∠NCB，∴EF∥AB.解皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形等边三角形中的三边相等并且每个角都等于60°，所以要充分利用等边三角形的性质，证明三角形全等或者构造全等三角形．皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形当堂检测1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()A．16B．18C．20D．16或20C分情况讨论：若4为底，则这个等腰三角形的周长为20；若8为底，根据三角形的三边关系判断，这个等腰三角形不存在．故选C.解析皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形2．如图17－4，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是()图17－4A．150°B．120°C．90°D．60°A皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，那么旋转的角度就是∠AOC的大小．∵OC⊥OB，△OAB是正三角形，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋90°＝150°.解析皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形3．如图17－5，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________．图17－510皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形由等腰三角形的“三线合一”，可知AE⊥BC，BE＝CE＝4.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知DE＝BD＝3，所以△BDE的周长是10.解析皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形4．如图17－6，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.图17－6皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第17课时┃等腰三角形证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC，∴AE∥BC.解皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测