函数与导数解答题排序6

试卷第1页，总50页第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）试卷第2页，总50页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）评卷人得分三、解答题（题型注释）1．设函数fx对任意,xyR，都有()()()fxyfxfy，当0x时，0,12xfxf（1）求证：fx是奇函数;（2）试问：在nxn时()nN，fx是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.（3）解关于x的不等式2211()()()(),022fbxfxfbxfbb【答案】（1）详见解析；（2）函数最大值为2n；（3）①02b，则解为2bxb；②2b，则解为2xbb；③2b，则无解.【解析】试题分析：（1）要证明fx为奇函数，需要证明()()fxfx.如何利用所给条件变出这样一个等式来？为了产生()fx，令yx，则0ffxfx.这时的(0)f等于0吗？如何求(0)f？再设0xy可得00f，从而问题得证.（2）一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值，就需要研究函数的单调性.研究单调性，第一，根据定义，第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取12xx，则210xx，根据条件可得：2211211fxfxxxfxxfx即21210fxfxfxx所以fx为减函数，那么函数在nxn上的最大值为fn.（3）有关抽象函数的不等式，都是利用单调性去掉f.首先要将不等式化为12()()fxfx，注意必须是左右各一项.在本题中，由题设可得22fbxbbfbxxx，fx在R上为减函数试卷第3页，总50页2222bxbbxx，即20bxxb.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数b，故需要分情况讨论.试题解析：（1）设0xy可得00f，设yx，则0ffxfx所以fx为奇函数.（2）任取12xx，则210xx，又2211211fxfxxxfxxfx所以21210fxfxfxx所以fx为减函数。那么函数最大值为fn，12fnnfn，12fnnfn所以函数最大值为2n.（3）由题设可知221122fbxfbfbxfx即22111111222222fbxfbfbfbxfxfx可化为221122fbxbbfbxxx即22fbxbbfbxxx，fx在R上为减函数2222bxbbxx，即22220bxbb，20bxxb①02b，则解为2bxb②2b，则解为2xbb③2b，则无解考点：1、抽象函数；2、函数的性质；3、解不等式.2．如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对拆,再对拆....对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为8410米)【答案】可建一座桥【解析】【错解分析】对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n项,易误理解为是比等比数列的前n项和。【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列na，则数列na是以31a=0.0510米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010,而地球和月球间的距离为4×1085.63×1010故可建一座桥。3．已知曲线32yxx在点0P处的切线1l平行直线410xy，且点0P在第三象限.试卷第4页，总50页（1）求0P的坐标；（2）若直线1ll,且l也过切点0P,求直线l的方程.【答案】（1）(1,4)－－;（2）4170xy.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线410xy的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为0p的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线1l的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于1，可得直线l的斜率为14，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线l的方程.试题解析：由32yxx－，得231yx，2分由1l平行直线410xy得2314x，解之得1x.当1x时，0y;当1x－时，4y－.4分又∵点0P在第三象限,∴切点0P的坐标为(1,4)－－6分（2）∵直线1ll,1l的斜率为4,∴直线l的斜率为14,8分∵l过切点0P,点0P的坐标为（－1,－4）∴直线l的方程为14(1)4yx11分即4170xy12分考点：利用导数研究曲线方程.4．已知函数xxxfyln)(。（Ⅰ）求函数)(xfy的图像在ex1处的切线方程；（Ⅱ）求)(xfy的最大值；（Ⅲ）设实数0a，求函数)()(xafxF在aa2,上的最小值【答案】（Ⅰ）exey322（Ⅱ）1e试卷第5页，总50页（Ⅲ）当20a时)(minxfaaFln)(当a2时)(minxfaaaF2ln21)2(【解析】试题分析：eef)1(又2/2)1(eefk函数)(xfy的在ex1处的切线方程为：)1(22exeey，即exey322当),0(ex时，0)(/xf，)(xf在),0(e上为增函数当),(ex时，0)(/xf，在),(e上为减函数eefxf1)()(max当20a时，,0)2()(aFaF)(minxfaaFln)(当a2时0)2()(aFaF，)(minxfaaaF2ln21)2(试题解析：（1）)(xf定义域为,02/xlnx-1(x)feef)1(又2/2)1(eefk函数)(xfy的在ex1处的切线方程为：)1(22exeey，即exey322（2）令0)(/xf得ex当),0(ex时，0)(/xf，)(xf在),0(e上为增函数当),(ex时，0)(/xf，在),(e上为减函数eefxf1)()(max（3）0a，由（2）知：)(xF在),0(e上单调递增，在),(e上单调递减。)(xF在aa2,上的最小值)}2(),(min{)(minaFaFxf2ln21)2()(aaaFaF当20a时，,0)2()(aFaF)(minxfaaFln)(当a2时0)2()(aFaF，)(minxfaaaF2ln21)2(考点：导数的应用。5．已知函数()2sincos,fxxxxR=?．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）判断函数()yfx的奇偶性,并说明理由。试卷第6页，总50页【答案】（1）；（2）奇函数【解析】试题分析：（1）利用倍角公式降幂，然后可得到()sin2fxx=，再用周期公式2T计算即可；（2）利用函数奇偶性的判断方法代入计算。试题解析：（1）因()sin2fxx=，故最小正周期为2.2T（3分）因()sin(2)sin2()fxxxfx，且xR。故()yfx是奇函数。（6分）考点：1、三角函数的倍角公式；2、三角函数周期的求法；3、函数奇偶性的判断。6．已知常数0a,函数2ln12xfxaxx.(1)讨论fx在区间0,上的单调性;(2)若fx存在两个极值点12,xx,且120fxfx,求a的取值范围.【答案】(1)详见解析(2)1,12【解析】试题分析:(1)首先对函数fx求导并化简得到导函数'fx,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分0和0得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当01a时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数fx的可行域内,把12,xx关于a的表达式带入120fxfx,得到关于a的不等式,然后利用导函数讨论a的取值范围使得120fxfx成立.即可解决该问题.(1)对函数fx求导可得24'12afxaxx2224112axaxaxx224112axaaxx,因为2120axx,所以当10a时,即1a时,'0fx恒成立,则函数fx在0,单调递增,当1a时,21'0aafxxa,则函数fx在区间210,aaa单调递减,在21aaa单调递增的.试卷第7页，总50页(2)解:(1)对函数fx求导可得24'12afxaxx2224112axaxaxx224112axaaxx,因为2120axx,所以当10a时,即1a时,'0fx恒成立,则函数fx在0,单调递增,当1a时,21'0aafxxa,则函数fx在区间210,aaa单调递减,在21aaa单调递增的.(2)函数fx的定义域为1,a,由(1)可得当01a时,21'0aafxxa,则21aaa1a12a,即110,,122a,则21aaa为函数fx的两个极值点,代入120fxfx可得124141ln121ln121212212aafxfxaaaaaaaa41ln14121aaaa=22ln12221aa令21at,令22ln2gttt,由110,,122a知:当10,2a时,1,0t,当1,12a时,0,1t,当1,0t时,22ln2gttt,对gt求导可得222122'0tgtttt,所以函数gt在1,0上单调递减,则140gtg,即120fxfx不符合题意.当0,1t时,22ln2gttt,对gt求导可得222122'0tgtttt,试卷第8页，总50页所以函数gt在0,1上单调递减,则10gtg,即120fxfx恒成立,综上a的取值范围为1,12.考点：导数含参二次不等式对数单调性7．已知函数xxxfln．（1）若存在eex,1，使不等式322axxxf成立，求实数a的取值范围；（2）设ba0，证明：022bafbfaf．【答案】（1）213eea；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）这是一个含参不等式恒成立，求参数取值范围的问题，通常方法是根据函数性质进行求解，或分离参数转化为求函数最值问题，若方便分离参数又较容易求分离后函数的最值，还是分离参数较好，这样可避免对参数的讨论；（2）这是一个