函数与方程复习讲义

1.函数与方程复习讲义一．【目标要求】①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.二．【基础知识】1．函数零点的概念：对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。2．函数零点与方程根的关系：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有点函数)(xfy有零点3．函数零点的存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ab上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。注：若()0()0fxfx或恒成立，则没有零点。三．【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若)(xfy在xa处其函数值为0，即()0fa，则称a为函数()fx的零点。（2）变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。（3）一般结论：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根。从图像上看，函数)(xfy的零点，就是它图像与x轴交点的横坐标。（4）更一般的结论：函数()()()Fxfxgx的零点就是方程()()fxgx的实数根，也就是函数()yfx与()ygx的图像交点的横坐标。22.函数)(xfy零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法1)代数法：函数)(xfy的零点()0fx的根2)几何法：有些不容易直接求出的函数)(xfy的零点或方程0)(xf的根，可利用)(xfy的图像和性质找出零点。画3)注意二次函数的零点个数问题0)(xfy有2个零点()0fx有两个不等实根0)(xfy有1个零点()0fx有两个相等实根0)(xfy无零点()0fx无实根对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定4)对于函数()()()Fxfxgx的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。3为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a化为正数，（1）20(0)axbxca恒成立00a，20(0)axbxca恒成立00a（2）20axbxc的解集为R0000aabc或20axbxc的解集为R0000aabc或（3）对于二次函数在区间,ab上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节4.用二分法求方程的近似解㈠给定精确度，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：1.精确区间,abD，使()(0)fafb.令00,aabb.2.取区间00,ab的中点0001()2xab,计算000(),(),()fxfafb一般步骤(1)如果0()0fx,则0x就是()fx的零点,计算终止；(2)如果00()()0fafx,则零点位于区间00,ax,令1010,aabx；(3)如果00()()0fafx,则零点位于区间00,xb令1010,axbb。3.取区间11,ab的中点1111()2xab,计算1()fx(1)如果1()0fx,则0x就是()fx的零点,计算终止；(2)如果11()()0fafx,则零点位于区间00,ax,令2121,aabx；(3)如果11()()0fafx,则零点位于区间00,xb令1121,axbb。……4．判断是不是达到精确度,即如果ab,则得到零点近似值a或(b)；否则就重复步骤2-4函数与方程复习题1.(2015安徽2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A）ycosx（B）ysinx（C）ylnx（D）21yx【答案】A42.(2015天津8)已知函数22,2,2,2,xxfxxx函数2gxbfx，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是()（A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24【答案】D【解析】由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0xxfxxx，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx()()()(2)yfxgxfxfxb,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb有4个不同的解，即函数yb与函数()(2)yfxfx的图象的4个公共点，由图象可知724b.864224681510551015【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.3.(2015湖南15)已知32,(),xxafxxxa，若存在实数b，使函数()()gxfxb有两个零5点，则a的取值范围是.【答案】),1()0,(.【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3axbx与方程)(2axbx的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组ababab31有解，∴23aba，从而1a；若方程)(3axbx无解，方程)(2axbx有2个根：则可知关于b的不等式组abab31有解，从而0a，综上，实数a的取值范围是),1()0,(.4.(2015北京14)设函数21421.xaxfxxaxax‚‚‚≥①若1a，则fx的最小值为；②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a或2a.【解析】①1a时，2114121.≥xxfxxxx‚‚‚，函数()fx在(,1)上为增函数，函数值大于1，在3[1,]2为减函数，在3[,)2为增函数，当32x时，()fx取得最小值为1；（2）①若函数()2xgxa在1x时与x轴有一个交点，则0a，并且当1x时，(1)2ga0，则02a，函数()4()(2)hxxaxa与x轴有一个交点，所以21且1aa112a；6②若函数()2xgxa与x轴有无交点，则函数()4()(2)hxxaxa与x轴有两个交点，当0a时()gx与x轴有无交点，()4()(2)hxxaxa在1x与x轴有无交点，不合题意；当(1)20ha时，2a，()hx与x轴有两个交点，xa和2xa，由于2a，两交点横坐标均满足1x；综上所述a的取值范围112a或2a.5.(2015江苏13)已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数()yfx与1()ygx交点个数以及函数()yfx与1()ygx交点个数之和，因为221,011()7,21,12xygxxxxx，所以函数()yfx与1()ygx有两个交点，又221,011()5,23,12xygxxxxx，所以函数()yfx与1()ygx有两个交点，因此共有4个交点6.(2014山东08）已知函数12xxf,kxxg.若方程xgxf有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（A）），（210（B）），（121（C）），（21（D）），（2【答案】B【解析】画出fx的图象最低点是2,1，gxkx过原点和2,1时斜率最小为12，斜率最大时gx的斜率与1fxx的斜率一致。7.(2014天津14）已知函数2()|3|fxxx，xR.若方程()|1|0fxax恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_____________.【答案】01a或9a.【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1|7与y＝f(x)的图像相切时，由－ax＋a＝－x2－3x，a0，整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，则Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，0a1或a9.8.(2014江苏13）已知)(fx是定义在R上且周期为3的函数，当)3,0[x时，|212|)(2xxxfaxf)(y在区间]4,3[上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．【答案】)21,0(【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找)(xfy与ay的图象交点去推出零点，先画出[0,3]上2122xxy的图像，再将x轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至]4,3[，发现若)(xf图象要与ay有10个不同的交点，则)21,0(a9．已经函数21()()sin,23xfxxaRaa，则()fx在[0，2]上的零点个数为（B）A．1B．2C．3D．410．下列函数中，在(0,)2上有零点的函数是（D）A．()sinfxxxB．2()sinfxxxC．2()sinfxxxD．22()sinfxxx11.设定义在R上的函数3,13,|3|1)(xxxxf，若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=O有5个不同实数解,则实数a的取值范围是（D）A.(0,1)B.(-,-1)C.(1，+)D.(-，—2)U(—2，—1)812.已知函数4()fxx与g(x)=x3+t，若f(x)与g(x)的交点在直线y=x的两侧，则实数t的取值范围是（B）A.(-6，0]B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)13．“m＜1”是“函数f(x)＝x2＋2x＋m有零点”的（A）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是（D）A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0C．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0D．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞015.设函数f（x）（xR）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x［0,1］时，f（x）＝x2，又函数g（x）＝｜xcos（x）｜，则函数h（x）＝g（