第5章-数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器

第五章数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器5.3简单滤波器的设计5.2理想数字滤波器5.1数字滤波器的基本概念特殊滤波器5.4数字谐振器5.8梳状滤波器5.9正弦波发生器5.5数字陷波器5.7最小相位滤波器5.6全通滤波器5.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器与数字滤波滤波：改变输入信号的频谱结构，频率选择器;对信号进行检测和参数估计;数字滤波器：对输入信号的进行数值运算的方法；模拟滤波器：电阻、电容、电感及有源器件等构成2.数字滤波器的实现方法用软件在计算机上实现用专用的数字信号处理芯片用硬件3.数字滤波器的可实现性要求系统因果稳定设计的系统极点全部在单位圆内。差分方程的系数或系统函数的系数为实数系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。4.数字滤波器的种类经典滤波器:用线性系统构成的滤波器；现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上滤波特性——数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；实现方法无限脉冲响应滤波器，简称IIR(InfiniteImpulseResponse)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。其系统函数为：有限脉冲响应滤波器，简称FIR(FiniteImpulseResponse)，它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。其系统函数为：011MrrrNrrrbzHzaz10,NnnHzhnzhn式中是其单位脉冲响应理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波器作为逼近标准用。本节主要讲述：5.2理想数字滤波器5.2.1理想数字滤波器的特点及分类5.2.2理想滤波器的可实现性理想滤波器的特点：在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；具有线性相位；单位脉冲响应是非因果无限长序列。理想滤波器的传输函数：0120,0,jnjCeHeCn其它式中，和是常数。5.2.1理想数字滤波器的特点及分类幅度放大了C倍时间延迟jHeC0n0gdnd012()()()(),jnjjjjYeXeHeCXee0ynCxnn0nxn输入信号输出信号幅频特性为：相频特性为：群时延为：则信号通过滤波器输出的频率响应为：其时域表达式：表示输出信号相对输入信号没有发生失真。群时延为常数，则信号中的所有频率分量的时间延迟相同。假设理想低通滤波器的频率响应为:式中，是一个正整数，称为通带截止频率。其幅度特性和相位特性图形如下：0,0,jncjceHe0nc理想低通滤波器的单位脉冲响应的特点ccO)(jH1Occ滤波器的单位脉冲响应为：举例：假设由此图看出,h(n)是无限长非因果序列，因此物理不可实现000sin(11()()22)ccjnjjcnjnhnHeedennhnnned05,4cn-50050-0.200.20.4nx(n)理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。它们的幅度特性如下：()jHe20低通高通带通带阻()jHe20()jHe20()jHe205.2.2理想滤波器的近似实现非因果序列不能物理实现近似实现办法：1）的波形向右移动，忽略的部分成为因果序列2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位理想低通滤波器的单位脉冲响应理想低通的近似实现hn0n-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)处理以后滤波器的传输函数与理想低通的传输函数不同是：1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数；2）阻带的幅度不再是零；3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。jNHejHe()()()1()()*()2NNjjjNNhNhnRnHeHeRe5.3简单滤波器的设计用Z平面零极点放置法设计简单滤波器。基本原理：极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近单位圆，频率响应的峰值越高；零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。5.3.1一阶数字滤波器5.3.2一阶低通滤波器带宽的计算5.3.3二阶数字滤波器5.3.4低通到高通的简单变换5.3.1一阶数字滤波器00.511.5200.511.5/(a)0.9501200.511.5/(b)0.95,-1-1-0.500.51-1-0.500.51RealPartImaginaryPart-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51RealPartImaginaryPart特点：具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。11,0.95aHzaza1211121azHzaz0|()|1jHe-1-0.500.51-1-0.500.51RealPartImaginaryPart-1-0.500.51-1-0.500.51RealPartImaginaryPart00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(d)-0.95,100.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5/(c)-0.9511,0.95aHzaza1211121azHzaz以上是低通滤波，以下是高通滤波：零极点的作用结合起来考虑：假设系统函数为：式中，以保证系统因果稳定；幅度特性用下图讨论：1311,0.8,1,0,0.71zbbzHzabzaaz01a-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81RealPartImaginaryPart00.510246810/结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。一阶低通滤波器的系统函数：设，幅度降到-3dB,则因为滤波器系数是实数，因此1211121azHzazp22310320lg10lg1012pppjjjHeHeHe2()()()()()0.5pppppjjjjjHeHeHeHeHe一阶低通滤波器带宽的计算将其系统函数带入上式，可推出：一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为式中，称为带宽。22arccos1paa1pa3dBa精确带宽近似带宽0.60.70.80.90.850.950.490.350.220.160.100.050.400.300.200.150.100.05一阶低通滤波器的带宽例5.3.1假设模拟信号，设计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。解:确定采样间隔T：显然要选择T/200=0.0157，确定T=0.015。数字频率：低频分量高频分量选择带宽利用计算出a=0.8数字低通滤波器的系统函数为：()sin7sin200axttt70.0150.105rad2000.0153rad0.2rad10.811()20.8108zzHzzz1paT(a)输入波形()axt()ayt(b)实际输出波形及理论波形sin7t（虚线）5.3.2二阶数字滤波器特点：2个极点；零点可以有1个或2个，也可以没有；滤波器的零点和极点是共轭成对出现的,以保证滤波器的系数是实数适当地放置零极点可得到各种滤波器：1212zbzbHzGzpzp二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1；为共轭极点；为共轭零点。12,pp12,bb图（a）（b）是二阶低通滤波器图（c）（d）是二阶高通滤波器，图（e）是带通滤波器。例5.3.2假设二阶数字滤波器的系统函数为：试确定G和p使幅度特性满足：解：在处，幅度为1，得到：在处，幅度为，得到211GHzpz02021,11jGHeGpp即24222411cos4sin41122jjpGGHepjppepjp412024112jjHeHe上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为例5.3.3设计一个二阶带通滤波器，是通带中心，在两点，频率响应为零，在处，幅度为解：极点设计在通带中心，极点零点在处，即和得系统函数：210.4610.32Hzz20,491220,11z21z222111zzzHzGGzjrzjrzr21,2jprejr幅度最大处幅度为1，因此上式中r的值由在的幅度值确定，因此2222112jrHeGGr即4922249422224122cos891412cos8921.94111.88,0.7jrHerrrrrr即解得最后得到带通滤波器的系统函数为它的幅度特性和相位特性如下图：2210.1510.7zHzz二阶带通滤波器的幅度特性和相位特性先设计一个低通滤波器转换成高通滤波器是高通滤波器的传输函数是低通滤波器的传输函数对上式进行傅里叶反变换，得到：也可写成：5.3.3低通到高通的简单变换()()()jjhplpHeHe()jhpHe()jlpHe1jnlnhplppehnhnhn1nlphphnhn低通滤波器的差分方程为:得到低通滤波器的传输函数为:将用代替，得到高通滤波器的传输函数:10NMkkkkynaynkbxnk011MjkkjklpNjkkkbeHeae00111111MMkjkjkkkjkkhpNNkjkjkkkkkbebeHeaeae由所得传输函数得到高通滤波器的差分方程为:例5.3.4已知低通滤波器的差分方程为:将低通滤波器转换成相应的高通滤波器，写出高通滤波器的差分方程。解：高通滤波器的差分方程为:相应的传输函数为:1011NMkkkkkkynaynkbxnk0.910.1ynynxn0.910.1ynynxn0.110.9jhpjHee当k取奇数时，系数加负号。5.4数字谐振器特点：是一个二阶滤波器，也是一个特殊双极点带通滤波器；它有一对共轭极点，r接近于1，幅度特性在附近最大，相当于在该频率发生了谐振。应用：适合作带通滤波器，以及语音合成器。数字谐振器根据零点放置的位置分为两种：1.零点在原点，一对共轭极点为：的数字谐振器,其系统函数为：0jre001,2,01jprer0001111jjbHzrezrez对任意r，可以推导出的乘积在处取最小值，即幅度取最大值：为谐振器精确的谐振频率。012200221020()()()112cos2()12cos(),()12cos()jbHeUUbrrrUrrUrr12()()UU和201arccoscos2rrrr幅度特性为：如果两个极点非常接近单位圆，则可以证明它的3dB带宽为。举例：，r=0.8和0.95，零极点分布及幅度特性如下0,r