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第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？3，有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？分析与解答：假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）练习三1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？2，在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？3，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例4：求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。分析与解答：首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。练习四1，求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。2，求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。3，求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。例5：求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。分析与解答：不妨先求0~199的所有数字之和，再求200~209的所有数字之和，然后把它们合起来。0~199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。所以，1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。练习五1，求1~308连续自然数的全部数字之和。2，求1~2009连续自然数的全部数字之和。3，求连续自然数2000~5000的全部数字之和。第十七周数数图形专题简析：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律。2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。例1：数出下面图中有多少条线段。DCBA分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。练习一：数出下列图中有多少条线段。（1）EDCBA（2）（3）例2：数一数下图中有多少个锐角。EDCBAO分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）练习二：下列各图中各有多少个锐角？(1)(2)(3)例3：数一数下图中共有多少个三角形。DCBA分析与解答：图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。练习三：数一数下面图中各有多少个三角形。例4：数一数下图中共有多少个三角形。DCBAFEO分析与解答：与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。练习四：数一数下面各图中各有多少个三角形。例5：数一数下图中有多少个长方形。DCBA分析与解答：数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。练习五：数一数下面各图中分别有多少个长方形。第十八周数数图形（二）专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。例1：数一数下图中有多少个长方形？CDBA分析与解答：图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习一：数一数，下面各图中分别有几个长方形？(1)(2)(3)例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析与解答：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。练习二：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）(1)(2)(3)例3：数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n练习三1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。(1)(2)2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？(3)例4：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析与解答：这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。练习四1，从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2，从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3，从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？例5：求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）EDCBA3241分析与解答：要求图中的线段长度总和，可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。以上各线段长度的总和为L，那么L=a1×(n－1)×1+a2×(n－2)×2+a3×(n－3)×3+…+a(n－1)×1×(n－1)。练习五1，一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？2，求下图中所有线段的总和。（单位：米）4623，求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）9548第十九周应用题（二）专题简析：解答复合应用题时一般有如下四个步骤：1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。例1：某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？分析与解答：条件摘录前10天每天烧煤300吨10200吨能烧多少天？后来每天烧煤240吨综合法思路：前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。分析法思路：要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。（10200－300×10）÷240=30（天）练习一1，某电冰箱厂要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务？2，某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套，后来改进操作方法，平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？3，某机床厂计划每天生产机床40台，30天完成任务。现在要提前10天完成任务，每天要生产多少台？例2：师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完