最新高三三角函数解题方法s (2)

三角函数解题方法2010.11.1一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等）如1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____。2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()值。3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为______（答：1）322；2）729239；3）23431(1)555yxxx）(2)三角函数名互化(切化弦)，如1）求值sin50(13tan10)（答：1）；2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值（答：18）(3)公式变形使用。如1）已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____（答：22）；2)设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则ABC是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升如1)若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）；2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________（答：51212[k,k](kZ)）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如1）求证：21tan1sin212sin1tan22；2）化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，如1）若sincosxxt，则sincosxx__（答：212t)，特别提醒：这里[2,2]t；2）若1(0,),sincos2，求tan的值。（答：473）；3）已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值（答：1k）。（7）、辅助角公式（收缩代换）的应用：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是______(答：32)；（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=(答：－2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222________(答：32)二、三角函周期的求法1．定义法：定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1．求函数y=3sin（）的332x周期解：∵y=f（x）=3sin（332x）=3sin（332x+2）=3sin（3232x）=3sin[3)3(32x]=f（x+3）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。∴函数y=3sin（332x）的周期是T=3。2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（x）、y=Acos（x）、ｙ＝tg（x）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：2、2、。例2：求函数y=1-sinx+3cosx的周期解：∵y=1-2（21sinx-23cosx）=1-2（cos3sinx-sin3cosx）=1-2sin（x-3）这里=1∴周期T=2（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例3：求f（x）=sinx·cosx的周期解：∵f（x）=sinx·cosx=21sin2x这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）例4求函数xxxy2sin2cossin32的周期解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx∴22T．例5已知函数),3cos3(sin3sin)(xxxxf求周期解：∵32sin21)32cos1(213cos3sin3sin)(2xxxxxxf)432sin(2221)32cos32(sin2121xxx∴3322T．4、遇到绝对值时，可利用公式2||aa,化去绝对值符号再求周期例6求函数|cos|xy的周期解：∵22cos1cos|cos|2xxxy∴22T．三、三角函数最值问题的几种常见类型1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0,φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12cos2x+32sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.解散y=14(2cos2x-1)+14+34(2sinxcosx)+1=14cos2x+34sin2x+54=12sin(2x+6)+54y得最大值必须且只需2x+6=2+2kπ，k∈Z.即x=6+kπ,k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z.}2.反函数法例:求函数1cos21cos2xxy的值域[分析]此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y解法一：原函数变形为,1121,1cos,121cosyyxyyx3y或.31y3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解∵f(x)=(cos2x-23)2-45,∴当cos2x=1,即x=kπ,(k∈Z)时，y=min=-1,当cos2x=-1,即x=kπ+2,(k∈Z)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角，化为y=22basin（x+）,利用函数1sinx即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。例：已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。[分析]此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。解：.47,6,2262,4562sin21452sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxy5.利用数形结合例：求函数yxxsincos2的最值。解：原函数可变形为yxxsincos().02这可看作点AxxB(cossin)()，和，20的直线的斜率，而A是单位圆xy221上的动点。由下图可知，过B()20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，yymaxmin.3333，6、换元法例：若0x2，求函数y=(1+1sinx)(1+1cosx)的最小值.解y=(1+1sinx)(1+1cosx)=1+sinx+cosx+1sinxcosx令sinx+cosx=t(1t≤2),则sinx·cosx=t2-12，∴y=1+2121tt=t2+2t+1t2-1=t+1t-1=1+2t-1,由1t≤2,得y≥3+22,∴函数的最小值为3+22.7.利用函数在区间内的单调性例：已知,0x，求函数xxysin2sin的最小值。[分析]此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设ttyttx1,10,sin，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3miny。8.利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例：求函数xxy22cos4sin1的最值。解：xxy22cos4sin1=9225tan4cot5tan14cot12222xxxx当且仅当,tan4cot22xx即2cotx时，等号成立，故9miny。9.利用图像性质例：求函数fxaxx()sincos242的最大值和最小值。分析：函数fx()的解析式可以变换成关于sinx的二次函数，定义域为11，，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间11，的位置，才能确定其最值。解：yfxxaxxaa()sinsin(sin).241212222设sinxtt，则，11并且ygttaa()().21222当时，如下图所示，有，aygayga1134134maxmin()().当时，如下图所示，有11aygaayggminmax()()()12112，为和中的较大者，即yaayaamaxmax()()34103401当时，如下图所示，有aygayga1134134maxmin()().10.判别式法例10求函数xxxxytansectansec22的最值。[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：kkxxyyxyxyxxxxxxxxy,0tan,101tan1tan11tantan1tantantansectansec222221y时此时一元二次方程总有实数解.3310313,014122yyyyy由y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx由.31,4,1tan