最新高三数学题库-函数与导数2

18．（本小题满分16分）已知函数f(x)=lnx+2x+ax－a－2(其中a0)．(1)当a=1时，求f(x)的最小值；(2)若x∈［1,3］时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．18.解：函数f(x)的定义域为(1，+∞)．(1)a=1时，f(x)=lnx+2x+x－3，f´(x)=1x－2x2+1=(x-1)(x+2)x2．当0x1时，f´(x)0；当x1时，f´(x)0．所以，f(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，+∞)上为增函数.所以，a=1时，f(x)的最小值为f(1)=0．(2)①由(1)当a=1时，f(x)≥0恒成立，即lnx+2x+x－3≥0恒成立所以，当a≥1，且x∈［1,2］时，f(x)=lnx+2x+a（x－1）－2≥lnx+2x+x－3≥0．所以，当a≥1符合要求．②0a1时，f´(x)=ax2+x－2x2(x0)，令g(x)=ax2+x－2，g(1)=a－10，所以方程ax2－(2a－1)x－3=0一根大于1，另一根小于1，不妨设两根为x1，x2，x11x2，所以1xx2时，f´(x)0，f(x)在(1，x2)为减函数．故当x∈(1，x2)时，f(x)f(1)=0，与x∈［1，3］，f(x)≥0恒成立矛盾．所0a1不符合要求．所以，a的取值范围是［1，+∞)．20．（本小题满分16分）设函数f(x)＝(x+1)lnx－a(x－1)在x＝e处的切线与y轴相交于点(0，2－e)．（1）求a的值；（2）函数f(x)能否在x＝1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1x2时，试比较2x－1与11lnln(2)xx大小．20．（1）()fx＝lnx+1x+1－a．依题设得f(e)－(2－e)e－0＝f(e)，即e+1－a(e－1)－(2－e)＝e1e1ea，解得a＝2．（2）不能．因为()fx＝lnx+1x－1，记g(x)＝lnx+1x－1，则g′(x)＝x－1x2．①当x1时，g′(x)0，所以g(x)在(1，+∞)是增函数，所以g(x)g(1)＝0，所以()fx0；②当0x1时，g′(x)0，所以g(x)在(0，1)是减函数，所以g(x)g(1)＝0，所以()fx0．由①②得f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以x＝1不是函数f(x)极值点．（3）当1x2时，2x－11lnx－1ln(2－x)．证明如下：由(2)得f(x)在(1，+∞)为增函数，所以当x1时，f(x)f(1)＝0．即(x+1)lnx2(x－1)，所以1lnxx+12(x－1)．①因为1x2，所以021x，112x，所以1113212(1)1ln2122xxxxx，即13ln(2)2(1)xxx．②①+②得11132lnln(2)2(1)2(1)1xxxxxxx．20．已知三次函数f(x)=4x3＋ax2＋bx＋c(a，b，cR)(1)如果f(x)是奇函数，过点（2，10）作y=f(x)图象的切线l，求实数b的取值范围；(2)当－1≤x≤1时f(x)满足－1≤f(x)≤1，求a，b，c的所有可能的取值．解(1)因为f(x)是奇函数，所以由f(－x)=－f(x)得a=c=0，设切点为P(t，4t3＋bt)，则切线l的方程为y－(4t3＋bt)=(12t2＋b)(x－t)，由于切线l过点（2，10），所以10－(4t3＋bt)=(12t2＋b)(2－t)，整理得b=4t3－12t2＋5，令g(t)=4t3－12t2＋5－b，则g′(t)=12t2－24t=12t(t－2)，所以g(t)在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g(t)=0有三个实数根，g(t)=0有三个实数根当且仅当g(0)＞0，且g(2)＜0，解得－11＜t＜5．(2)由题意，当x=±1，±12时，均有－1≤f(x)≤1，故－1≤4＋a＋b＋c≤1，①－1≤－4＋a－b＋c≤1，即－1≤4－a＋b－c≤1，②－1≤12＋a4＋b2＋c≤1，③－1≤－12＋a4－b2＋c≤1，即－1≤12－a4＋b2－c≤1，④①＋②得－2≤8＋2b≤2，从而b≤－3；③＋④得－2≤1＋2b≤2，从而b≥－3．代入①②③④得a＋c=0，a4＋c=0，从而a=c=0．下面证明：f(x)=4x3－3x满足条件．事实上，f′(x)=12x2－3=3(2x＋1)(2x－1)，所以f(x)在[－1，－12]上单调递增，在[－12，12]上单调递减，在[12，1]上单调递增，而f(－1)=－1，f(－12)=1，f(12)=－1，f(1)=1，所以当－1≤x≤1时f(x)满足－1≤f(x)≤1．20-1已知函数f(x)＝2x2＋3(a2＋a)lnx－8ax．(1)若x＝3是f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x)在其导函数f′(x)的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝4x＋3(a2＋a)x－8a＝4x2－8ax＋3(a2＋a)x＝4(x－a)2－a2＋3ax，因为x＝3是一个极值点，所以f′(3)＝0，从而4(3－a)2－a2＋3a＝0，即a2－7a＋12＝0，所以a＝3或a＝4.当a＝3时，f′(x)＝4(x－3)2x≥0，函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增，没有极值点，所以a≠3；当a＝4时，f′(x)＝4(x－3)(x－5)x，函数f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，在(5,＋∞)上单调递增，x＝3是f(x)的一个极值点，所以a＝4.(2)f′(x)＝4x＋3(a2＋a)x－8a＝4x2－8ax＋3(a2＋a)x＝4(x－a)2－a2＋3ax，f′′(x)＝4－3(a2＋a)x2，设g(x)＝4(x－a)2－a2＋3a.①若－a2＋3a≥0，即0≤a≤3，f′(x)≥0，函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增，当a＝0时，f′(x)＝4x在(0,＋∞)上单调递增，适合题意；当0＜a≤3时，a2＋a＞0，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上都是是单调递增的，适合题意.②若－a2＋3a＜0，即a＜0或a＞3，g(x)＝0有两个不相等的实数根x1和x2，不妨设x1＜x2，(i)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足x1＜x2≤0，这时a≤－1，函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增，当a＝－1时，f′′(x)＝4，f′(x)＝4x在(0,＋∞)上单调递增，适合题意；a＜－1时，a2＋a＞0，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上都是单调递增的，适合题意.(ii)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足x1＜0＜x2，这时－1＜a＜0，a2＋a＜0，函数f(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,＋∞)上单调递增，f′(x)在(0,＋∞)上单调递增，不含题意.(iii)若g(x)＝0有两个根x1和x2满足0＜x1＜x2，这时a＞0，a2＋a＞0，函数f(x)在(0,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,＋∞)上单调递增，f′(x)在(0,3(a2＋a)4)上单调递减，在(3(a2＋a)4,＋∞)上单调递增，函数f(x)在其导函数f′(x)的两个单调区间上不都是单调的，不含题意.综上，a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,3].202设函数32()(,,,0)3afxxbxcxabcRa（1）若函数()fx为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，若3a，函数()fx在[2,2]的值域为[2,2]，求()fx的零点；（3）若不等式()()1axfxfx恒成立，求abc的取值范围．解：（1）()()fxfx恒成立，则b=0；（2）32(),()3fxxcxfxxc①若0c，则()0fx恒成立，则()fx单调递减，又函数()fx在[2,2]的值域为[2,2]，(2)2(2)2ff，此方程无解．②若0c，则()0,3cfxx（i）若23c，即12c时，函数()fx在[2,2]单调递增，(2)2(2)2ff，此方程组无解；（ii）2233cc，即312c时，()23()23cfcf，所以c=3；（iii）223c，即3c时，(2)2(2)2ff，此方程无解．综上，所以c=33()3fxxx的零点为：1230,3,3xxx．（3）由题意可得232()(2)()103aaxbabxcacx恒成立．记232()()(2)()103aFxaxbabxcax若203aa，则三次函数()Fx至少有一个零点0x，且在0x左右两侧异号，所以原不等式不能恒成立；所以210=33aaa，此时22()=++1033bcFxxx恒成立等价于：1）b=c=0或者2）2030bcb在1）中，13abc，在2）中13abcbct所以2331ctc，即2331tcc恒成立2min53(31)4tcc综上：abc的取值范围是5[,)1220．（本小题满分16分）设f(x)是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]任意划分成n个小区间，若存在常数M，使i=1n|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，则称f(x)为[a，b]上的有界变差函数．（1）判断函数f(x)＝x＋cosx在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a，b]上的单调函数f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a，b]上的函数f(x)满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2[a，b]，|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．（1）易得f′(x)＝1－sinx≥0，x[－，]，所以f(x)＝x＋cosx为区间[－，]上的单调增函数，故当xi－1＜xi时，总有f(xi－1)＜f(xi)，此时，i=1n|f(xi)－f(xi－1)|＝i=1n[f(xi)－f(xi－1)]＝f(xn)－f(x0)＝f()－f(－)＝2．所以函数f(x)＝x＋cosx在[]，上为有界变差函数；…………5分（2）因为函数f(x)为区间[－，]上的单调函数，所以当xi－1＜xi时，总有f(xi－1)＜f(xi)（或f(xi－1)＞f(xi)），…………7分故i=1n|f(xi)－f(xi－1)|＝|i=1n[f(xi)－f(xi－1)]|＝|f(xn)－f(x0)|＝|f(b)－f(a)|．故存在常数M＝|f(b)－f(a)|，使得i=1n|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，所以定义在[a，b]上的单调函数f(x)为有界变差函数；…………10分（3）因为存在常数k，使得对于任意的x1，x2[a，b]，|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．所以i=1n|f(xi)－f(xi－1)|≤i=1nk|xi－xi－1|＝k(b－a)．…………14分故存在常数M＝k(b－a)，使得i=1n|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，所以f(x)为[a，b]上的有界变差函数．…………16分19．（本小题满分16分）已知函数()lnafxxx