学案 函数、基本初等函数的图像与性质

1.理解函数的概念，特别是定义域、值域、对应法则.2.准确理解函数的性质,奇偶性、单调性、周期性.3.灵活掌握函数图象的变换，平移、对称、翻折、旋转等.4.理解二次函数、并能熟练解决二次函数的有关问题.5.理解指数函数、对数函数、幂函数的概念及性质,并能利用性质解决数学问题.6.了解分段函数，并能简单应用.学案6函数、基本初等函数的图象与性质1.(2009·全国Ⅰ)设函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（）A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数解析由函数y=f(x+1)是奇函数知，f(x+1)=-f(-x+1),①由函数y=f(x-1)是奇函数知，f(x-1)=-f(-x-1).②由①知，f(-x)=-f(2+x),由②知，f(-x)=-f(x-2),∴f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x).∴函数y=f(x)是以4为周期的函数，由②知，f(x-1+4)=-f(-x-1+4).∴f(x+3)=-f(-x+3),∴函数f(x+3)是奇函数.答案D2.(2009·全国Ⅱ)函数的图象（）A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称解析由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.xxy22log2A3.（2009·天津）设函数则不等式f(x)f(1)的解集是（）A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)解析由已知，函数先增后减再增当x≥0，f（x）≥2，f（1）=3，令f(x)=3,解得x=1,x=3.当x0，x+6=3,x=-3,故f(x)f(1)=3,解得-3x1或x3.0,60,64)(2xxxxxxfA4.(2009·广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是（）A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面解析由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面.A题型一求函数的定义域和值域【例1】(1)(2009·江西)函数的定义域为()A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)∪(0,1](2)若函数y=f(x)的值域是则函数F(x)=f(x)+的值域是（）A.B.C.D.xxxy432,]3,21[)(1xf]3,21[]3102[，]31025[，]310,3[解析(1)由题意知解得-4≤x0或0x≤1.(2)t=f(x),则y=F(x)=由y′0,得1t≤3;由y′0,得因此在(1,3]上是增函数.04302xxx,1tt22)1)(1(11',]3,21[ttttyt其中,121t,)1,21[1上是减函数在tty,25310313,3,25221,2121ytyt时时又∴t=3时,ymax=;t=1时,ymin=1+1=2.答案(1)D(2)B【探究拓展】求解这类问题时,一般有两种方法:一是先求外函数的定义域,再把内函数代入;二是直接代入,写出复合函数的解析式,使复合函数有意义即可,这两种方法实际上都采用了整体代入的基本思想.310.]3102[]3,21[)()(1)()(.]310,2[1,]3,21[，xfxfxfxFttyt时值域为在函数时变式训练1(1)(2008·湖北)函数f(x)=的定义域为（）A.(-∞,-4]∪[2,+∞)B.(-4,0)∪(0,1)C.[-4,0)∪(0,1]D.[-4,0)∪(0,1)(2)设g(x)是二次函数,若f[g(x)]的值域是［0,+∞),则g(x)的值域是()A.(-∞,-1)∪[1,+∞)B.(-∞,-1]∪[0,+∞)C.[0,+∞)D.[1,+∞))4323ln(122xxxxx,)1|(|)1|(|)(2xxxxxf解析(1)不等式组的解集为[-4,0)∪(0,1).所以函数f(x)的定义域为[-4,0)∪(0,1).(2)由题意可知,f[g(x)]的值域是[0,+∞),所以函数g(x)的值域是[0,+∞),又g(x)是二次函数,则选项A,B都不可能,若g(x)的值域是[1,+∞),则f[g(x)]的值域也是[1,+∞).答案(1)D(2)C043230,043,0232222xxxxxxxxx题型二函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)【例2】(1)(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则（）A.f(-25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(-25)C.f(11)＜f(80)＜f(-25)D.f(-25)＜f(80)＜f(11)(2)已知函数若f(0)=2010，则f(2010)=_____.,)(1)(1)1(xfxfxf解析（1）因为f(x)满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数，则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)=0，得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为f(x)在区间［0，2］上是增函数，所以f(1)＞f(0)=0,所以-f(1)＜0，即f(-25)＜f(80)＜f(11).（2）因为即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，又2010=502×4+2,则f(2010)=f(502×4+2)=f(2),因为所以f(2010)=答案(1)D(2),)(1)(1)1(xfxfxf,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(xfxfxfxfxfxfxfxf所以,01021)0(1)2(ff.0102101021【探究拓展】在准确理解函数性质的前提下,切记,奇函数在原点处有定义,则f(0)=0;函数f(x)满足:①f(x+a)=-f(x),则函数f(x)是以2a为周期的函数;②则函数f(x)是以2a为周期的函数;③则函数f(x)是以4a为周期的函数.,)(1)(xfaxf,)(1)(1)(xfxfaxf变式训练2已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数，若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2008)+f(2009)的值为（）A.-2B.-1C.1D.2解析因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的函数,则f(-2008)=f(0),f(2009)=f(1),所以f(-2008)+f(2009)=f(0)+f(1)=log21+log22=1.C题型三函数的图象问题【例3】(2009·山东)函数的图象大致为()xxxxyeeee解析函数有意义,需使ex-e-x≠0,其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为所以当x＞0时函数为减函数.答案A,1e211e1eeeee222xxxxxxxy【探究拓展】(1)图象信息题可以较为全面的考查考生的数学素质和能力,解法灵活多样,一定要灵活掌握图象的变换;在利用图象求交点个数或方程解的个数时,作图一定要准确，否则容易得到错误的结论.(2)若函数f(x)满足:①f(x+a)=f(b-x),则图象关于直线x=a+b对称;②f(a+x)=-f(b-x)，则图象关于点0)对称;③函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象,关于y轴对称.,2(ba变式训练3符号[x]表示不超过x的最大整数,如=3,[-1.1]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1];②方程有无数解；③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的命题序号有（）A.②③B.①④C.③④D.②④][21}{x解析由题意作出函数{x}=x-[x]的图象如图所示,结合图象可知,函数{x}的定义域是R,值域为[0,1),故①错误;方程的解的个数即函数f(x)={x}的图象与的图象的交点个数,交点有无数个,故②正确；③正确，周期为1；由图象易知④错误.答案A21}{x21y题型四函数的综合应用【例4】已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意x,y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y)，又对任意的x0,都有f(x)＜0,f(3)=-6.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)证明函数y=f(x)在R上为单调减函数；(3)试求函数y=f(x)在[a,b](a,b∈Z,且ab＜0)上的值域.(1)解令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.再令y=-x,得：f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0,于是函数y=f(x)为奇函数.(2)证明对任意x,y∈R，∵f(y)+f(x-y)=f[y+(x-y)]=f(x)，∴f(x)-f(y)=f(x-y）.设x1,x2∈R,且x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),显然x1-x2＞0.而由题意可知，对任意的x＞0,都有f(x)＜0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),∴函数y=f(x)在R上为单调减函数.(3)解由于函数y=f(x)在R上为减函数，故y=f(x)在[a,b]上为减函数，∴y=f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b).又由于f(b)=f[1+(b-1)]=f(1)+f(b-1)=2f(1)+f(b-2)=…=bf(1),同理:f(a)=af(1).又f(3)=-6=3f(1)，∴f(1)=-2，∴f(b)=-2b,f(a)=-2a，因此函数y=f(x)在[a,b]上的值域为[-2b,-2a].【探究拓展】抽象函数的综合题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思维程度较高,解题时需要把握好如下三点:一是注意定义域的应用;二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“符号”;三是利用函数的单调性去掉函数符号“f”,然后再求解.变式训练4定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=②f(x)0，当x∈(-1,0)时，有f(x)0.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)求证：(1)解令x=y=0，得f(0)=0,再令y=-x,得f(x)+f(-x)=0，所以函数f(x)是奇函数.),1(xyyxf.)21()131()111()51(2fnnfff(2)解设-1x1x20,则x1-x20,0x1x21,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=即f(x1)f(x2),所以f(x)在区间(-1,0)上单调递减,由奇函数的性质可知,f(x)在区间(0,1)上也是单调递减的函数.所以函数f(x)是定义域上的减函数.,0)1(,01121212121xxxxfxxxx则即,0)1(2121xxxxf(3)证明)131()111()51(),21()11()21()11()131(,])2)(1(112111[)131(,)2)(1(1121111312222