学案5 函数与方程-函数与导数 2012高考一轮数学精品课件

学案5函数与方程函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)方程f(x)=0y=f(x)的图象与y=f(x)有.f(x)=0x轴零点⇔⇔考点分析2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系返回目录f(a)·f(b)0f(c)=0(a,b)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与X轴的交点无交点零点个数000返回目录无(x1,0),(x2,0)(x1,0)两个一个返回目录4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间［a,b］,验证,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算:①若,则c就是函数的零点;②若,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.f(c)·f(b)0f(a)·f(b)0f(c)f(c)=0f(a)·f(c)0返回目录考点一函数零点的判断与求解判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;（3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1,3］.【分析】利用函数零点的存在性定理或图象进行判断.题型分析返回目录【解析】(1)解法一:∵f(1)=-200,f(8)=220,∴f(1)·f(8)0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.解法二:令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,∴函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.(2)∵f(-1)=-10,f(2)=50,∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零点.(3)∵f(1)=log2(1+2)-1log22-1=0,f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0,∴f(1)·f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1,3］存在零点.【评析】函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.返回目录＊对应演练＊求下列函数的零点:(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.返回目录x2(1)∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3),解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0,可得x1=-3,x2=1,x3=2.∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.(2)x+-3=.解x+-3=0,即,可得x=1或x=2.∴函数y=x+-3的零点为1,2.返回目录x20x2)-1)(x-(xx23x-x2x20x2)-1)(x-(xx2返回目录考点二零点个数问题求函数y=lnx+2x-6的零点个数.【分析】该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图象,数形结合即可.【解析】在同一坐标系中画出y=lnx与y=6-2x的图象如图所示,由图已知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.【评析】若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.返回目录返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)=ax+(a1).判断f(x)=0的根的个数.1x2-x设f1(x)=ax(a1),f2(x)=-,则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=-的图象（如图所示）.两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且只有一个根.1x2-x1x2-x11x3返回目录返回目录考点三零点性质的应用（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.【分析】(1)二次项系数含有字母,需分类讨论.(2)利用函数图象求解.【解析】(1)若a=0,则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,解得a=-.综上所述,a=0或a=-.返回目录4141返回目录(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)的图象如图所示,由图象可知,如果要使|4x-x2|=-a有四个根,那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.故需满足0-a4,即-4a0.∴a的取值范围是(-4,0).【评析】此类方程根的分布问题,通常有两种解法.一是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解;二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合法求解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.返回目录返回目录＊对应演练＊(1)函数f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14有两个零点,且一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围;(2)关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一根大于4,一根小于4,求实数m的取值范围.(1)解法一:设方程x2+2(m+3)x+2m+14=0的两根分别为x1,x2(x1x2).依题意,只需满足(x1-1)(x2-1)0.即x1x2-(x1+x2)+10.由根与系数的关系可得(2m+14)+2(m+3)+10,即4m+210,解得m-.解法二:由于函数图象开口向上,故依题意,只需f(1)0,即1+2(m+3)+2m+140,即4m+210,解得m-.返回目录421421(2)令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,m0m0g(4)0g(4)0,解得-m0.返回目录依题意得或1319返回目录考点四二分法的应用用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1,1.5］内的一个零点(精确度0.1).【分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤.【解析】由于f(1)=1-1-1=-10,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.8750,∴f(x)在区间［1,1.5］上存在零点,取区间［1,1.5］作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下:∵|1.375-1.3125|=0.06250.1,∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.3125,1.375］内.故函数零点的近似值为1.3125.返回目录端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|［1,1.5］0.51.25f(1.25)0［1.25,1.5］0.251.375f(1.375)0［1.25,1.375］0.1251.3125f(1.3125)0［1.3125,1.375］0.0625返回目录【评析】(1)求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度ε,当区间长度小于精确度ε时,运算即告结束,而此时取的中点值即为所求,当然也可取区间端点的另一个值.(2)精确度与精确到是两个不同的概念,精确度最后的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同,则此时四舍五入的值即为零点的近似值.返回目录＊对应演练＊利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确到0.1).如图,由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.设f(x)=lgx+x-3,用计算器计算,得f(2)0,f(3)0x1∈(2,3),f(2.5)0,f(3)0x1∈(2.5,3),f(2.5)0,f(2.75)0x1∈(2.5,2.75),f(2.5)0,f(2.625)0x1∈(2.5,2.625),f(2.5625)0,f(2.625)0x1∈(2.5625,2.625).因为2.625与2.5625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x1≈2.6.返回目录返回目录1.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.2.要熟练掌握二分法的解题步骤,尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.高考专家助教