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学案9函数的图象返回目录一、作图1.利用描点法作图：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；（4）画出函数的图象.返回目录2.利用基本函数的图象变换作图，常见的图象变换有以下三种：平移变换：（1）y=f(x-a)的图象可由y=f(x)的图象沿x轴向右（a0）或向左（a0）平移个单位得到.（2）y=f(x)+h的图象可由y=f(x)的图象向上(h0)或向下(h0)平移个单位得到.（3）y=f(ωx-a)的图象可由y=f(ωx)的图象沿x轴向右(ωa0)或向左(ωa0)平移个单位得到.伸缩变换：（1）y=kf(x)(k0)的图象可由y=f(x)的图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍（k1时伸长,0k1时缩短）而得到.|a||h|a（2）y=f(kx)(k0)的图象可由y=f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(k1时缩短，0k1时伸长)而得到.对称变换：（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于对称.（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于对称.（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于对称.返回目录k1y轴x轴原点返回目录（4）y=|f（x）|的图象是保留y=f(x)的图象中位于上半平面内的部分及与x轴的交点，将y=f(x)的图象中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到.（5）y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中位于右半平面内的部分及与y轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到.（6）奇函数的图象关于成中心对称图形，偶函数的图象关于成轴对称图形.y轴原点返回目录二、识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.三、用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.返回目录四、有关结论1.若f(a+x)+f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于x=成轴对称图形.2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)对称.3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.4.若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(ba)成中心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.5.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,关于直线x=b(ba)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-4a是它的一个周期.2ba21返回目录考点一作出函数图象作出下列函数的图象：（1）y=|x-2|(x+1);（2）y=10|lgx|.【分析】显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.返回目录【解析】（1）当x≥2，即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;当x＜2，即x-2＜0时，y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+.x-()2-,x≥2,-x-()2+,x＜2.这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出（如图2-9-3）.2149214921492149∴y=（2）当x≥1时，lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0＜x＜1时，lgx＜0,y=10|lgx|=10-lgx=.x,x≥1,,0＜x＜1.这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出（如图2-9-4）.返回目录x110x1lg∴y=x1返回目录【评析】作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如:一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数及三角函数的图象.在变换函数解析式中要运用转化变换和分类讨论的思想.作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”.＊对应演练＊已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.(1)在图中作出函数y=f(x)的图象；(2)解不等式|x-8|-|x-4|2.返回目录4,x≤4-2x+12,4x≤8-4,x8,图象如下：(2)不等式|x-8|-|x-4|2,即f(x)2,由-2x+12=2得x=5.由函数f(x)的图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).返回目录(1)f(x)=考点二函数图象的识别（1）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则()A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)返回目录(2)设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］,若当x∈［0,5］时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)0的解集是.返回目录（3）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图2-9-8所示，其中从年到年的五年间增长最快.返回目录返回目录【分析】(1)可从图象的增减性，所过三个特殊点(0,0),(1,0),(2,0)入手分析或构造方程来解.(2)奇函数图象关于原点对称，性质也相应的变化，抓住奇函数的特征去求解.（3）相邻数值作差比较可得.返回目录【解析】（1）方法一：（定量法）据图象知f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0.d=0a+b+c+d=08a+4b+2c+d=0,解得a=-,c=-.∴f(x)=-x3+bx2-x=-x(x-1)(x-2).当x2时，有f(x)0，∴b0.故应选A.3b32b3b32b3b{∴返回目录方法二：（模型函数法）通过观察f(x)的图象，可以联想到二次函数的零点表示式y=a(x-x1)(x-x2).于是可用以上模型函数的零点表示式，类似设出三次函数f(x)的解析式f(x)=ax3+bx2+cx+d=a(x-0)(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax.比较同次项系数，得b=-3a,c=2a,d=0;又据图象,当x2时，f(x)0，即a0.∴b=-3a0.故应选A.返回目录（2）由函数是奇函数条件将图象补充完整如图2-9-9.当f(x)0时,x∈(-2,0)∪(2,5］.（3）从图中观察可知从1995年到2000年的五年间增长最快为24.8-21.0=3.8，故应填1995,2000.【评析】这是图象信息迁移题，全面考查学生的数学素质和能力.返回目录＊对应演练＊设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图2-9-10,则y=f(x)的图象最有可能是()C(由y=f′(x)的图象得:当x0时,f′(x)0,∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增.当0≤x≤2时,f′(x)≤0,∴y=f(x)在［0,2］上单调递减.当x2时,f′(x)0,∴y=f(x)在(2,+∞)上单调递增.故应选C.)返回目录返回目录考点三函数图象的应用若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,求实数m的取值.【分析】此题属于不等式恒成立问题,利用两个函数图象的上下位置关系来确定不等式解的问题,往往可以避开繁琐的运算.返回目录【评析】(1)利用图象法简捷,但需要具备较强的数学思维能力.(2)在解题时,要深刻分析问题,仔细观察,提高解决问题的能力.【解析】在同一坐标系中分别画出函数y=|2x-m|及y=|3x+6|(如图),由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函数y=|2x-m|的图象应总在函数y=|3x+6|图象的下方,因此函数y=|2x-m|的图象也必经过点(-2,0),故m=-4.返回目录＊对应演练＊若关于x的方程=x+m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.12x画出y=和y=x+m的图象.当直线y=x+m过点(-,0),即m=-时，两图象有两个交点.如图所示.y=y=x+m得x2+(2m-2)x+m2-1=0.令Δ=0得m=1.∴当-≤m＜1时，两图象有两个交点，即方程=x+m有两个不同的实数根.12x212112x2112x返回目录由返回目录1.要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数的图象、偶函数的图象等.2.方程f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数.3.不等式f(x)g(x)的解集为f(x)的图象位于g(x)的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围.