6.2.函数在无穷远点的留数及其应用

复变函数论FunctionsofOneComplexVariable湖南第一师范学院数理系第六章留数理论及其应用§6.1留数§6.2用留数定理计算实积分§6.3辐角原理及其应用3.函数在无穷远点的留数定义6.2设∞为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在去心邻域N-{∞}:0≤r|z|+∞内解析,则称1(),(:||)2fzdzzri为f(z)在点∞的留数，记作Res()zfz设f(z)在去心邻域N-{∞}:0≤r|z|+∞内的洛朗展式为212101()nnfzczczcczcz§6.1留数例3.2设C是圆|z-a|ρ，其中a是一个复数，ρ是一个正数，那么按反时针方向所取的积分2,(1)()0,(1)nCindzzan的整数2,10,1nindzzn故2,10,1nindzzn及可推出212101()nnfzczczcczcz1()2fzdzic11Res()()2zfzfzdzci注意比较含点∞的区域的柯西积分定理与此结论的异同.定理6.6如果f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点)，设为a1，a2,…，an,∞,则f(z)在各点的留数总和为零.证以原点为圆心作圆周Г，使a1，a2，…，an，皆含于Г内部，Г的外部只有一个奇点∞，由留数定理得1()2Res()knzakfzdzifz1a2ana1()2Res()knzakfzdzifzO1()2Res()knzakfzdzifz11()Res()2knzakfzdzfzi11Res()()02knzakfzfzdzi11Res()()02knzakfzfzdzi1Res()Res()0knzazkfzfz故若∞为f(z)的可去奇点(解析点)，则不一定有Res()0zafz注意：若a为f(z)的可去奇点，则必有Res()0zfz21()zzfzz例如是的可去奇点，但Res()1zfz若f(z)是整函数，则Res()0zfz1Res()(),(:||)2zfzfzdzzi证明1()02fzdzi这也是定理6.6的特例.1zt1()()()ttffz则.令,计算函数在无穷远点留数的一个公式1Res()(),2zfzfzdzi考虑其中:||(:)izrzre或11:||(:)itterr或1.zt-变换把圆周变成圆周1||0||rztr同时把区域变成1111Res()()()()22zttfzfzdzfdii故2111111()()()()22ttttfdfdtii22011111()Res()2tttttfdtfi2011Res()Res()ztttfzf即()||fzrz设在内的洛朗展式为11()0||tftr则在内的洛朗展式为212101()nnfzczczcczcz2121011()nntfctctcctct12322101211()nnttfcctctctct21011Res()Res()ztttfzcf所以再利用洛朗级数证明这个公式例6.6计算积分解法一：七个孤立奇点,六个有限奇点均在积分曲线内部,只有∞在其外部.152243||4(1)(2)zzIdzzz2[Re()]zIisfz1Re()zsfzc12Iic152243()(1)(2)zzfzzz易知是的一阶零点122()ccfzzz21()czfzcz1612243lim()lim1(1)(2)zzzczfzzz在的去心邻域内有122Iici2011Res()Res()1ztttfzf所以152223241111()11(1)(2)tfttttt22431(1)(12)tttz=2[Res()]2[(1)]2Iifzii解法二本讲结束作业第270页3.(3)(4)