1.4角平分线的性质第二课时

1.4角平分线的性质1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.角平分线的判定定理:在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点到角两边的距离相等回顾：剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．DFEMNCBAP用心想一想，马到功成DEFMNCBAP证明：三角形三条角平分线相交于一点．已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P．定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三角形角平分线的性质定理比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．21cm242DEBD224[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．动脑筋如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29∵ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PEPB，∴BE+PFPB.∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30三.尺规作图角平分线的作法已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC作法:用尺规作角的平分线.ABO1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于点E、D2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？动脑筋图1-31因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图1-32.图1-32定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.（这个交点叫做三角形的内心）练习1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，∵CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM..同理，BE=BM.又AB=AM+BM，∴AB=AD+BE挑战自我基本应用填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1＝∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等２.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO试题分析：使PC=PD，即作CD的中垂线，并且P到∠AOB两边的距离相等，即作角平分线，两线的交点就是点P的位置．如图所示：３.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD小结：1.定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.3.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).4.用尺规作角的平分线.（作法）CB1A2PDEO