第1讲绝对值与绝对值不等式的解法

WORD格式整理版专业学习参考资料第1讲绝对值和绝对值不等式的解法5.1绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．例如，2到原点的距离等于2，所以22．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0aaaaaa．5.1.1绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2B．2C．-2D．4解：A【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（）A．7或-7B．7或3C．3或-3D．-7或-3解：C【例3】已知：abc≠0，且M=abcabc，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．当a、b、c都是正数时，M=______；当a、b、c中有一个负数时，则M=________；当a、b、c中有2个负数时，则M=________；当a、b、c都是负数时，M=__________．解：3；1，1，3．练习1：已知abc，，是非零整数，且0abc，求abcabcabcabc的值解：由于0abc，且abc，，是非零整数，则abc，，一正二负或一负二正，（1）当abc，，一正二负时，不妨设000abc，，，原式11110；（2）当abc，，一负二正时，不妨设000abc，，，原式11110．原式0．【例4】若42ab，则_______ab．解：424204,2ababab，所以2ab．结论：绝对值具有非负性，即若0abc，则必有0a，0b，0c．练习1：2120ab，a________；b__________解：1,2ab．WORD格式整理版专业学习参考资料练习2：若7322102mnp，则23_______pnm＋．解：由题意，713,,22mnp，所以13237922pnmm＋．5.1.2零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例5】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12xx时，可令10x和20x，分别求得12xx，（称12，分别为1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：⑴当1x时，原式1221xxx⑵当12x时，原式123xx⑶当2x≥时，原式1221xxx综上讨论，原式211312212xxxxx通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x和4x的零点值解：令20x，解得2x，所以2x是2x的零点；令40x，解得4x，所以4x是4x的零点．（2）化简代数式24xx解：⑴当2x时，原式2422xxx；⑵当24x时，原式246xx；⑶当x≥4时，原式2422xxx．综上讨论，原式222624224xxxxx．（3）化简代数式122yxx解：当1x时，53yx；当12x时，3yx；当2x时，35yx．WORD格式整理版专业学习参考资料综上讨论，原式531312352xxxxxx．5.1.3绝对值函数常见的绝对值函数是：,0,0xxyxxx，其图象是绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0x．思考如何画yxa的图象？我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；xa的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离．【例6】画出1yx的图像解：（1）关键点是1x，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当1x时，1yx；当1x时，1yx．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出2yx的图像；（2）画出2yx的图像【例7】画出122yxx的图象解：（1）关键点是1x和2x（2）去绝对值当1x时，53yx；当12x时，3yx；当2x时，35yx．（3）图象如右图所示．WORD格式整理版专业学习参考资料【例8】画出函数223yxx的图像解：（1）关键点是0x（2）去绝对值：当0x时，223yxx；当0x时，223yxx（3）可作出图像如右图【例9】画出函数232yxx的图像解：（1）关键点是1x和2x（2）去绝对值：当1x或2x时，232yxx；当12x时，232yxx（3）可作出图像如右图1．35________；3________；3.1415_____；2．2215xy，4x，则y__________．3．若0aa，那么a一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数4．若xx，那么x是________数．5．如图，化简22abbcac_____________6．已知2(2)210xy，则2xy_______．7．化简12xx，并画出12yxx的图象8．化简523xx．WORD格式整理版专业学习参考资料9.画出23yx的图像10.画出223yxx的图像答案：1．35；3；3.14152．2或13．C4．负5．-46．37．23,21,2123,1xxyxxx，图象如下8．32,538,52332,2xxyxxxx9．如图所示10．如图所示5.2绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．【例1】解方程：21x．解：原方程变为21x，∴3x或1x．WORD格式整理版专业学习参考资料【例2】解不等式1x．解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1和1，自然只有在1和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是{|11}xx．练习1．解不等式：（1）3x；（2）3x（3）2x解：（1）{|33}xx（2）{|33}xxx或（3）{|22}xx结论：（1）(0)xaa的解集是{|}xaxa，如图1．（2）(0)xaa的解集是{|}xxaxa或，如图2．【例3】解不等式21x．解：由题意，121x，解得13x，所以原不等式的解集为{|13}xx．结论：（1）(0)axbcccaxbc．（2）(0)axbccaxbc或axbc练习1：解不等式：（1）103x；（2）252x；（3）325x；解：（1）由题意，3103x，解得713x，所以原不等式的解集为{|713}xx．（3）由题意，252x或252x，解得72x或32x，，所以原不等式的解集为73{|}22xxx或．（3）由题意，5325x，解得14x，所以原不等式的解集为{|14}xx．练习2：解不等式组2405132xx．解：由240x，得424x，解得26x，①由5132x，得133x，即3133x，解得4233x，②由①②得，4233x，所以原不等式的解集为42{|}33xx．练习3：解不等式1215x．WORD格式整理版专业学习参考资料解：方法一：由215x，解得23x；由121x得，0x或1x，联立得2013xx或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或．方法二：12151215xx或5211x，解得2013xx或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或．【例4】解不等式：4321xx解：方法一：（零点分段法）（1）当34x时，原不等式变为：(43)21xx，解得13x，所以13x；（2）当34x时，原不等式变为：4321xx，解得2x，所以2x；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3xxx或．方法二：43214321xxxx或43(21)xx，解得13x或2x，所以原不等式的解集为1{|2}3xxx或．结论：（1）()()()axbfxfxaxbfx．（2）()()axbfxaxbfx或()axbfx．练习4：解不等式：431xx．解：由431xx得(1)431xxx，解得2453x，原不等式的解集为24{|}53xx．【例5】解方程：（1）213xx（2）215xx（3）314xx（4）324xx【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若a和b是数轴上的两个数，那么当axb时，数x到a和b的距离之和等于a与b的距离；当xa或xb时，数x到a和b的距离之差的绝对值，等于a与b的距离．以上所有问题都可以用此方法解决．解：（1）等式左边式子21xx的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，而2和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x位于2和1之间时，x到2和1的距离之和就刚好为3，所以x的取值范围是WORD格式整理版专业学习参考资料21x．（2）等式左边式子的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，由于2和1的距离是3，所以x一定在2和1的两边，经过计算，可知当x位于3和2时，满足条件．（3）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和1的距离之差，由于3和1的距离刚好是4，所以当x位于3到1的两边时，x到3和1的距离之差刚好为4，x的取值范围是3x或1x．（4）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和2的距离之差，由于3和1的距离刚好是5，所以x一定位于3到2之间，可知当x位于52和32时，满足条件．【例6】解不等式：215xx方法1：利用零点分区间法（推荐）分析:由01x，02x，得1x和2x．2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．解：当2x时，得2(1)(2)5xxx，解得：23x；当12x时，得21(1)(2)5xxx，解得：12x；当1x时，得1(1)(2)5xxx，解得：21x．综上，原不等式的解集为23xx．说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值．方法2：利用绝对值的几何意义解：215xx的几何意义是数轴上的点x到1和2的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35，易知当3x或2x时，215xx，所以x位于3和2之间（不含端点），所以32x