复变函数习题答案第3章习题详解

1第三章习题详解1．沿下列路线计算积分idzz302。1)自原点至i3的直线段；解：连接自原点至i3的直线段的参数方程为：tiz310tdtidz31031033233023313313itidttidzzi2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：tz10tdtdz330330230233131tdttdzz连接自3铅直向上至i3的参数方程为：itz310tidtdz331031023323313313313iitidtitdzzi33331023023023313313313313iiidtitdttdzzi3)自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至i3。解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：itz10tidtdz3103102023131iitidtitdzzi连接自i沿水平方向向右至i3的参数方程为：itz10tdtdz33103102323113131iiitdtitdzzii333332023021313113131iiiidzzdzzdzziiii2．分别沿xy与2xy算出积分idziyx102的值。解：xyixxiyx22dxidz1iixixidxixxidziyxi2131121311110231021022xy22221xiixxiyxdxxidz2110104321022131142311211iixixidxxixidziyxi而iiiii6561212131312131123．设zf在单连通域B内处处解析，C为B内任何一条正向简单闭曲线。问0CdzzfRe，0CdzzfIm是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解：不成立。例如：zzf，iezC：，0iiddzzfCsincoscosRe20sincossinImiddzzfC204．利用在单位圆上zz1的性质，及柯西积分公式说明idzzC2，其中C为正向单位圆周1z。解：011zzzifdzzdzzCC202015．计算积分Cdzzz的值，其中C为正向圆周：1)2z；解：在2z上，iez2iiidededzzziiC4222222020202)4z解：在4z上，iez4iiidededzzziiC8444442020206．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向的圆周1z。1)Czdz2解：21zzf在C内解析，根据柯西—古萨定理，02Czdz2)Czzdz422解：2221421zzzzf在C内解析，根据柯西—古萨定理，0422Czzdz33)Czdzcos解：zzfcos1在C内解析，根据柯西—古萨定理，0Czdzcos4)Czdz21解：1zf在C内解析，210z在C内，iifzdzC2212215)Czdzze解：zzezf在C内解析，根据柯西—古萨定理，0Czdzze6)Czizdz22解：21zzf在C内解析，20iz在C内，22122222iiiifzizdzC7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)Czdzze2，C：12z解：2z在C内，zezf在C解析，根据柯西积分公式：222iedzzeCz2)Cazdz22，C：aaz解：az在C内，azzf1在C解析，根据柯西积分公式：idzazazazdzCC222213)Cizdzze12，C：232iz解：iz在C内，izezfiz在C解析，根据柯西积分公式：CizCizedzizizedzze1244)Cdzzz3，C：2z解：3z不在C内，3zzzf在C解析，根据柯西—古萨定理：03Cdzzz5)Czzdz1132，C：1rz解：11132zzzf在C解析，根据柯西—古萨定理：01132Czzdz6)Czdzzcos3，C：为包围0z的闭曲线解：zzzfcos3在C解析，根据柯西—古萨定理：03Czdzzcos7)Czzdz4122，C：23z解：iz在C内，412zizzf在C解析，根据柯西积分公式：Czzdz41228)Cdzzzsin，C：1z解：0z在C内，zzfsin在C解析，根据柯西积分公式：002sinsinidzzzC9)Cdzzz22sin，C：2z解：2z在C内，zzfsin在C解析，根据高阶导数公式：02222'sinsinidzzzC10)Czdzze5，C：1z解：0z在C内，zezf在C解析，根据高阶导数公式：!!4204245ifidzzeCz8．计算下列各题：1)iizdze325解：02121263232iiiiziizeeedze2)063izdzch；解：3203133130606iishzshzdzchii3)iizdz2sin；解：222412212212shiizidzzzdziiiiiisincossin4)10zdzzsin；解：1010101011sincoscoscoscossinzdzzzzzdzdzz5)izdzeiz0；解：iiiizizizizieeeidzeeizdeizdzeiz100006)idzztgz121cos（沿1到i的直线段）。解：12112121112212112tgtgitgtgiztgtgzdtgztgzdzztgziiicos9．计算下列积分：1)Cdzizz2314，（其中C：4z为正向）；解：iidzizdzzdzizzCCC14342231423142)Cdzzi122，（其中C：61z为正向）；解：0222222122izizCCCCiziiziidzizizidzizizidzizizidzzi3)213CCCdzzzcos，（其中1C：2z为正向，2C：3z为负向）；解：3zzzfcos在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213CCCdzzzcos64)Cizdz，C：1z（其中C为以21，i56为顶点的正向菱形）；解：在所给区域内，izzf1有一孤立奇点，由柯西积分公式：iizdzC25)Czdzaze3，（其中a为1a的任何复数，C：1z为正向）。解：当az，3azezfz在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：03Czdzaze当az，zezf在所给区域内解析，根据高阶导数公式：ieeidzazeaaCz!22310．证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，012Cdzz。证明：当C所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：012Cdzz；当C所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：00212'ifdzzC；11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？1)2zdzzz2)4zdzzz解：1）0222202dieeedzzziiiz；2）0444204dieeedzzziiiz由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为zzzf在复平面上处处不解析。12．设区域D为右半平面，z为D内圆周1z上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与z，证明41102zdRe。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1z到z的曲线作为C。证明：因为211f在D内解析，故积分zd0211与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从17沿圆周1z到z的曲线作为C，则：021002102021111111deiearctgxdeedxxdiiiiz002414dideeiiisec41102zdRe13．设1C和2C为相交于M、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B与2B。1B与2B的公共部分为B。如果zf在BB1与BB2内解析，在1C、2C上也解析，证明：21CCdzzfdzzf。证明：如图所示，zf在BB1与BB2内解析，在1C、2C上也解析，由柯西—古萨基本定理有：01NNOMPdzzf02MMRNPdzzfMMRNPNNOMPdzzfdzzf21MNPMRNNMPNOMdzzfdzzfdzzfdzzf21NMPMRNMNPNOMdzzfdzzfdzzfdzzf12MNPMRNNMPNOMdzzfdzzfdzzfdzzf1212CCdzzfdzzf14．设C为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟C的不同位置，计算积分Cdzzz22的值。解：分四种情况讨论：1）如果与都在C的外部，则22zzzf在C内解析，柯西—古萨基本定理有022Cdzzz2）如果与都在C的内部，由柯西积分公式有iidzzzzdzzzzdzzzCCC22223）如果在C的内部，都在C的外部，则zzzf在C内解析，由柯西积分公式有8iidzzzzdzzzCC2224）如果在C的外部，都在C的内部，则zzzf在C内解析，由柯西积分公式有iidzzzzdzzzCC22215．设1C与2C为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明内时。在，当内时，在，当20010200022121CzzCzzdzzzzdzzzziCCsin