2018线性代数基础讲义

目录第一章行列式.........................................................................................................................1第二章矩阵.......................................................................................................................11第三章向量组.......................................................................................................................32第四章线性方程组...............................................................................................................42第五章特征值和特征向量...................................................................................................47第六章二次型.......................................................................................................................63第七章向量空间(仅数学一)................................................................................................70模拟试卷1................................................................................................................................74模拟试卷2................................................................................................................................81模拟试卷3................................................................................................................................872018考研数学基础课程内部辅导讲义11第一章行列式【考试要求】1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．一、行列式的定义1.排列的逆序数定义1由1,2,,n组成的有序数组称为一个n阶排列,通常用12njjj表示一个n阶排列.例如:2143是一个4阶排列,3124也是一个4阶排列,25134是一个5阶排列.定义2一个排列中如果一个大的数排列在一个小的数之前,就称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用12()njjj表示排列12...njjj的逆序数.如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列.例如：在5阶排列25134中,共有逆序21,51,53,54,即(25134)=4,所以25134是偶排列.在6阶排列365412中,共有逆序31,32,65,64,61,62,54,51,52,41,42即(365412)=11,所以365412是奇排列.2.n阶行列式的定义定义3称11211112121222()1212(1)nnnnnjjjjnjjjnnnnaaaaaaaaaaaa为一个n阶行列式．它是一个数，表示!n项的代数和，每一项又是来自不同行不同列的n个数的乘积组成．一阶行列式：规定一阶行列式1111aa；二阶行列式：11122122aaaa11221221aaaa；（对角线法则）三阶行列式：111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa2018考研数学基础课程内部辅导讲义2132231122133112332aaaaaaaaa；（对角线法则）例1(1)111213212223313233()axaxaxfxaaaaaa至多是关于x的几次多项式?(2)111213212223313233()axaafxaaxaaaax中32,xx的系数及常数项各为多少?例2证明：11121112222122112212000000nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa．二、行列式的性质性质1行列式两行（或列）元素互换，则行列式的值改变符号．注：行列式D的两行元素相同，则0D．性质2某行（列）有公因子可以提到行列式记号之外，即2018考研数学基础课程内部辅导讲义311111niinnnnaakakaaa11111niinnnnaaaakaa．注1：若行列式的某一行（或某一列）元素全为0，则这行列式值为0；注2：行列式的某两行（或某两列）元素成比例，则这行列式为0．性质3若行列式的某一行（或某一列）元素ija均可分解为两个元素ijijbc则该行列式可分解为相应的两个行列式之和，即111211122111niiiiininnnnaaabcbcbcaaa1112112111niiinnnnaaabbbaaa1112112111niiinnnnaaacccaaa．性质4将行列式的某一行（或某一列）元素乘以同一常数加到另一行（或另一列）上去，则行列式的值不变，即11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa1112112112212niiinijijinjnnnnnaaaaaakaakaakaaaaa．性质5行列式转置后，其值不变，即TDD．其中111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa.2018考研数学基础课程内部辅导讲义4例1设11(,)Axy，22(,)Bxy是直角坐标平面上两个不同的点，问11221101xyxyxy是否为过,AB两点的直线方程？例2设1112132122233132331aaaaaaaaa，则111112132121222331313233423423423aaaaaaaaaaaa．三、行列式的计算（一）降阶1.余子式ijM，代数余子式ijA的概念．记n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，将D中划去元素ija所在的第i行第j列后剩下的1n行、1n列元素不改变相互位2018考研数学基础课程内部辅导讲义5置组成的1n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；称(1)ijijijAM为ija的代数余子式．例123456789D，则有111156(1)389A，121246(1)679A；1456789xyzD，则有111156(1)389A，121246(1)679A．性质：（1）ijA和ija的大小无关；（2）ijA和ija的位置有关．2.拉普拉斯展开定理1212*******iiinjjjnaaaDaaa1122...iiiiininaAaAaA，1,2,,in．1122,1,2,,jjjjnjnjaAaAaAjn．例101460025______________.00031000D2018考研数学基础课程内部辅导讲义6例2实数a取何值时，行列式1000100001001aaaa.例3111213123456123789DAAA，ijA表示元素ija的代数余子式，则（1）1456789xyzD按照第一行展开的结果为__________.(2)111213xAyAzA，(3)111213456AAA．推论1212*******iiinjjjnaaaDaaa1122...iiiiininaAaAaA，1,2,,in．则12112212*******iiinjjnjnnaaaxAxAxAxxx．2018考研数学基础课程内部辅导讲义7当ij时，1122ijijinjnaAaAaA=1212**0*****iiiniiinaaaaaa例4设3040222207005322D，求：（1）D的值；(2)D的第4行各元素的代数余子式之和.【答案】（1）336；（2）0.（二）化三角例1计算行列式1231031201230nnnDn.2018考研数学基础课程内部辅导讲义8例2计算行列式nabbbabDbba的值.例3计算n阶行列式12111100(0,1,2,,)1000100inaaaina的值.例4计算42100121001210012D的值.（三）范德蒙德行列式1222212111112111()nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx．2018考研数学基础课程内部辅导讲义9例1计算222111abcabc例2计算222233331111abcdabcdabcd例3计算1111123414916182764的值.四、行列式的应用：定理(克莱姆法则)设n个方程，n个未知量的非齐次线性方程组1111221121222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(*)2018考研数学基础课程内部辅导讲义10系数行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，jD为将D中第j列12jjnjaaa换为常数列12nbbb所得到的行列式，当0D时，(*)有且仅有唯一解且jjDxD(1,2,,)jn．例1求解212321232123,,,xaxaxdxbxbxdabcxcxcxd互异.推论对n个方程，n个未知量的齐次线性方程组111122121222211220,0,0.nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax当0D时，有且仅有零解10nxx．如果齐次方程组有非零解，则0D．进一步，以后可证明：n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解0D；n个方程n个未知量的齐次线性方程组仅有零解0D．例2取何值时,1231231230,0,0,xxxxxxxxx（1）仅有零解？（2）有非零解？2018考研数学基础课程内部辅导讲义11第二章矩阵【考试要求】1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行