等差数列的性质以及常见题型

学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！1等差数列的性质以及常见题型上课时间：上课教师：上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法一等差数列的定义及应用1.已知数列na的通项公式为23nan，试问该数列是否为等差数列。2.已知：zyx1,1,1成等差数列，求证：zyxyxzxzy,,也成等差数列。思考题型;已知数列na的通项公式为qnpnan2（,,Rqp且p,q为常数）。（1)当p和q满足什么条件时，数列na是等差数列？（2)求证：对于任意实数p和q，数列nnaa1是等差数列。学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！2二等差数列的性质考察（一）熟用dmnadnaamn)()1(1，mnaadmn问题（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式）1、等差数列na中，350a，530a，则9a.2、等差数列na中，3524aa，23a，则6a.3、已知等差数列na中，26aa与的等差中项为5，37aa与的等差中项为7，则na.4、一个等差数列中15a=33，25a=66，则35a=________________．5、已知等差数列na中，qap，paq，则____qpa．（二)公差d的巧用（注意：等差数列的项数）1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____2、等差数列123,,,,naaaa的公差为d，则数列1235,5,5,,5naaaa是（）A．公差为d的等差数列B．公差为5d的等差数列C．非等差数列D．以上都不对3、等差数列{}na中，已知公差12d，且139960aaa，则12100aaaA．170B．150C．145D．1204.已知yx，且两个数列yaaaxm,,,,21与ybbbxn,,,,21各自都成等差数列，则1212bbaa等于（）AnmB11nmCmnD11mn5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为（）A-2B-3C-4D-5学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！3（三）tsnmaaaatsnm性质的应用（注意：角标的数字）1.等差数列na中，若45076543aaaaa，则_____82aa。2.等差数列na中，若4507654aaaa，则_____10S。3.等差数列na中，若2013S。则_______7a。4.等差数列na中，若1011a，则_______21S。5.在等差数列na中31140aa，则45678910aaaaaaa_______。6.等差数列na中,12318192024,78aaaaaa,则_____20S。7.在等差数列na中，4512aa，那么它的前8项和8S等于_______。8.如果等差数列na中，34512aaa，那么127aaa_______。9.在等差数列na中，已知1234520aaaaa，那么3a等于_______。10.等差数列na中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则_______7a.11.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1+a3+a5+…+a21=_______。12.｛an｝为等差数列，a1+a2+a3=15，an+an-1+an-2=78，Sn=155，则n=_______。（四）方程思想的运用（注意：联立方程解方程的思想）1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和nS2.已知等差数列{an}中，1673aa,064aa,求数列{an}的前n项和nS学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！4（五)nnnnnSSSSS232,,也成等差数列的应用1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。3.已知等差数列{an}中，,12,493SS求15S的值.4.已知等差数列{an}中，,4,2654321aaaaaa则181716aaa的值5.a1，a2，a3，……a2n+1为等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项数.6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______。7.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(六）1212nSann的运用1.设nS和nT分别为两个等差数列nnba,的前n项和，若对任意*nN，都有71427nnSnTn，则1111ba=________。2.设nS和nT分别为两个等差数列nnba,的前n项和，若对任意*nN，都有nnTs=3413nn，则77ba=________。3.有两个等差数列na，nb，其前n项和分别为nS，nT，若对nN有7223nnSnTn成立，求55ab=（）。（七）na与nS的关系问题;1.数列na的前n项和23nSnn＝，则na＝___________2.数列na的前n项和21nSnn＝，则na＝___________3.数列na的前n项和22nSnn＝，则na＝___________学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！54.数列na的前n项和24nSnn＝3，则na＝___________5.数列na的前n项和1nnS＝2，则na＝___________6.数列}24{n的前n项和nS＝______.7.数列}84{n的前n项和nS＝______.8.数列}{na的前n项和2nS＝8n-10.则______na（八）巧设问题；一般情况,三个数成等差数列可设:daada,,;四个数成等差数列可设:dadadada3,,,3.1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！65.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差(九）．最值问题:；1.在等差数列}{na中,6,801da,求nS的最大值.2.在等差数列}{na中,5,801da,求nS的最大值.3.在等差数列}{na中,6,801da,求nS的最小值.4.在等差数列}{na中,5,801da,求nS的最小值.学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！75.等差数列na中，1490,aSS，则n的取值为多少时？nS最大6.在等差数列{na}中,4a＝－14,公差d＝3,求数列{na}的前n项和nS的最小值7.已知等差数列{na}中1a=13且3S=11S,那么n取何值时,nS取最大值.8.在等差数列{an}中，若93aa，公差d＜0，那么使其前n项和Sn为最大值的自然数n的值是__.学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！8（十)累加法的应用-------裂项相消1.已知数列{an}满足:1,1211anaann,求na.2.已知数列{an}满足:1,1411anaann,求na.3.已知数列{an}满足:4,1211anaann,求20a.4.在数列{an}中，)11ln(,211naaann,求an.(十一）由na求na的前n项和1.数列na的前n项和24nSnn，则1210||||||aaa_______.2.数列na的前n项和24nSnn，nnba，则数列{}nb的前n项和nT_______.学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！93.数列na中，148,2aa，满足*2120,nnnaaanN．（1）求通项na；（2）设12nnSaaa，求nS；（3）设**121,,,12nnnnbnNTbbbnNna，是否存在最大的整数m，使得对于任意*nN，均有32nmT成立，若有求之，若无说明理由．（十二)由nS得na的题型、直接法1.已知正项数列}{na的前n项和为nS，321a，且满足211322nnnaSS)(*Nn。（1）求数列}{na通项公式na；（2）求证：当2n时，2222234111194naaaaL。学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！10倒数法1.已知数列na中，an≠０，a1＝21，a1n＝nnaa21（n∈N），求an2.已知数列na的前n项和为nS，且满足)2(02,2111nSSaannn（错误!未找到引用源。）判断nS1是否为等差数列？并证明你的结论；（错误!未找到引用源。）求nS和na；（错误!未找到引用源。）求证：nSSSn412122221。3.已知函数baxxxf)(（a,b为常数，0a）满足1)2(f且xxf)(有唯一解。（1）求)(xf的解析式（2）如记)(1nnxfx，且11x，Nn，且nx。学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！11数列与函数1.已知二次函数()yfxxxxf23)(2，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)设1nnnaa3b,nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；倒序相加2.设函数241xxf，(1)证明：对一切Rx，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记Nnfnnfnfnffan,11......210，求na,并求出数列{an}的前n项和。学辅教育成功就是每天进步一点点！学海无涯多歧路“学辅”相伴行万里！12思维扩展题型数列{an}满足nnannaa)(,1211)3,2,1(n，是常数。（1）当12a时，求及3a的值。（2）数列na是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式：若不可能，说明理由。